ÐÏࡱá>þÿ ¢ÄþÿÿÿžŸ ¡ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ`!ðeL7HãFø<ä:Á$Ñ*¯ T€ (º 3þxÚcdàd``Öbd``beV æd±X€˜‰‘,ÂÈôÿÿ°ˆ£XÄ�‰ªš› ¦�‡‰�©�SÈRcãg�bøÒÄ ä²Ž±кc@�ÜP5< ¾‰%!•© `üfjøvÃF°+˜B2sS‹üRË‚òsó nÓÊsi#®Æy ŵp>˜o ç¯`ñuàüwl ¾œßÁ†*ÿ†Ä7„ó7°¢Êcñ à|?0¿Îo‡Ž&œïÁâk€Ã͇À0c®ÌMÊÏa`‚ø‹ì¿HþÓc)=‡BŒCb#ܤ3`=ep~ˆŸÆÀ�.p¬�ƒêZv0o(ž;™˜”‚+‹KRs:Ð]Ë VõOa`!ðím2âýåÕ¤b—~I¢÷{ëí@€ïØR»þxÚ5O; ÂPœÝøË Vb%v ŠÈ¬ô  ƒ‚iÒ¥Lé]l-<�µ½àsw,ow˜™�%ø€W`  ¯-å³v-E‰ !vÎ2§¡! ¦†ò_qI ©Ï´ÓÇNEˆe~J÷ÒID©°áDXïò㶸¤Àؘ.¿7²XŒxSdûó ¬ûg‚öä_ ­Ôw�[`ÉÔµWŒ®MÍXódS\ó4CU{‘Ýô‰g¼°z'§`!ðzžèU`·o¸-îq6¯±«¤Àèƒ HþxÚ…’¿KÃPÇ¿w±5M‹M‹ˆCq *("®¢‹"mq[ (+´ Ù .ýƒ:uRg'''qŒï]’‡¯ŽÜç~$ß»÷ÀiÀ˜ƒ~rÊ ¬½)eL$â8Ž%²NóÙ`J«‹œõ•<ªÌ*o9_ÆbÝ_ñHyceƒ 0V�Å´¦„Ãvÿ¢ÝÀ±(øâÁ·Á=‰ †ßº ƒ^í(¸­5ºaû¸ÓJÖTÞUïMïŒÜŠ.®>/k^1\-ÙùmÏÎ?»šk†ÙÕCÕW3>ÍÛõ‹Žý½]Jò“Ð?�ìôó×$o¢|ßpgFóžáGQ~`x«`ç_óvÿNNó‰á²û«HòþßݫӄߌÂN÷ œm<ÑK¦ÿ]6ûdøÃIØKOØ“[ G™þÃǴЃ^ñ�˜—šQ¯„NîÄ‘ºìÊVpèÛ+é(€àà€  ´ pÌ”ÍÃ@·¸ºEquation ºEquation.30º(Microsoft ¹e z_è}/�hV 3.0Ì”Í0Ã`º¸ºEquation ºEquation.30º(Microsoft ¹e z_è}/�hV 3.0Ì”Í0Ãl»¸ºEquation ºEquation.30º(Microsoft ¹e z_è}/�hV 3.0Ì”Í0Ãm¼¸ºEquation ºEquation.30º(Microsoft ¹e z_è}/�hV 3.0Ì”Í0Ãn½¸ºEquation ºEquation.30º(Microsoft ¹e z_è}/�hV 3.0Ì”Í0Ão¾¸ºEquation ºEquation.30º(Microsoft ¹e z_è}/�hV 3.0òâ/È 0ÒÕ·DArialgsRo„®¸¤Üb˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 0"·D°e0}fÔšgsRo„®¸¤Üb˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 0ˆ ·DTimes New Roman˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 00·DTahomaew Roman˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 0"@·DWingdingsRoman˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 0P·DjwiÔšdingsRoman˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 0ˆA`·DSymbolgsRoman˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 0¤ €a€¥.©  @£nÿý?" dd@ÿÿï€ÿÿ  @@``€€ ìðäð0˜¥M=FL FG ( ! ""$-/1 7 , ""&%( *#&' *)( )5'# "!   + &% %$?ð„2ð$L7HãFø<ä:Á$Ñ*¯ ÿm»2ð$m2âýåÕ¤b—~I¢÷{ëíÿõm»2ð$žèU`·o¸-îq6¯±«ÿ‚b» ð�0e‚˜²ƒ0e„˜²…‡ˆ‰¿ ô€�‚ƒ„†A‡Áˆ‰Š‹Œ�Ž��•–—Á˜™š›œ@¿ÀÁÂÿÿÿÄÅAÆÁÇÈÉÊË5%ÌÍÎÏÁÐÑÒÓÔÕÖ×ÿËËË8c8c     ?€�‚ƒœ1„…ðù†‡÷¿ÀÁÂdÃÄÅÆÇÈÉÊ0uËÐÌ0íìÿÍ@T‰Î€Ï€ÿÿÐyÿÑ2Ò NÓPÃÔÕ'Öp”×°<ÿÿØÙ'Úp”ÿ@A¨)BCD|¾E?„…†‡ˆŠ@ñÿÿÿÿÿÿÿÿ÷ð8ó9 €ó: €Ð7ÿ ºuìÊš;2NÍÉÊš;úgþý41d1dì 0èØb|ÿÿÿ²ÿÿÿpûppû@ <ý4!d!d® 0¤Üb„¬¸b<ý4dddd® 0¤Üb„¬¸b?Ù Ú%OÙ Ú=ðó>Ÿ¨-Path Partition for Graphs With Special Blocksª . Ÿ $XoÊOpg September 2005¡,d�dª  óUŸ¨Outlineª  Ÿ¨@Introduction Motivation Previous results Main result Future workª A ó?Ÿ¨ Graph G=(V,E)¡>ƒƒª  ó_ Ÿ¨Subgraph H of a Graph G¡2 ‚ ‚ª  óXŸ¨Pathª  óVŸ¨Path-partition ¡�ª  óYŸ¨Path-partition ¡�ª  óWŸ¨Path-partition Number p(G) ¡Jƒ�ƒ�ª  óBŸ¨Path-partition Number p(G)¡Bƒ�ƒ�ª  óc#Ÿ¨Cycleª  ó[Ÿ¨ Hamiltonianª  óv2Ÿ¨Complete Graph Kn¡,‚ ‚çÿª&   óCŸ¨ Motivationª  Ÿ RSkupieD 1974 Hamiltonian shortage SH(G) ¡x* ƒ ƒçÿ�ƒ�‚ª $ óDŸ¨ Motivationª  óEŸ¨ Motivationª  óFŸ¨ Motivationª  óG Ÿ¨Previous Resultsª Ÿª ó�=Ÿ¨Questionª  ó;Ÿ¨ NP-Completeª  ó\Ÿ¨Previous Resultsª Ÿª ó]Ÿ¨ Connectedª  ó^Ÿ¨ Componentª  óa!Ÿ¨ Cut-vertexª  ób"Ÿ¨Blockª óe%Ÿ¨Complete Bipartite Graphª óz6Ÿ¨Treeª ó{7Ÿ¨ Block Graphª  óH Ÿ¨ Our Resultª   óf'Ÿ¨f-path partition¡‚ª  Ÿ |f: V(G)®ð{0,1,2,3} f-path partition: P: collection of vertex-disjoint paths 1 f (v) `"3 in some path in P 2 f(v)=0 Þð v itself is a path in P 3 f(v)=1 Þð v end vertex of some path in P¡˜%š‚‚� �‚@‚(@‚‚@@‚@‚‚�‚@‚@‚�‚@‚@ª¿ ój*Ÿ¨f-path partition number pf(G)¡X‚‚ ‚çÿ‚ª  óp,Ÿ¨Inductive Theoremª  óh(Ÿ¨Inductive Theoremª  ói)Ÿ¨Inductive Theoremª  ók+Ÿ¨Inductive Theoremª  ó~:Ÿ¨Basisª  óq-Ÿ¨Basisª  ór.Ÿ¨Basisª  ós/Ÿ¨Basisª  ót0Ÿ¨Basisª  óu1Ÿ¨Basisª  óI Ÿ¨ Our Resultª  óJ ów3óK ó|8óLóx4óMó}9óNóy5óOóPóQóRóSó‚?Ÿ¨Time Complexityª  Ÿ¨�The depth-first search to find all blocks and cut-vertices, and requires O(|E|) time Each subroutine requires O(|V(B)|+|E(B)|) operations. ¡ÒŽI‚‚@‚‚‚‚‚ @ª Ž óTŸ¨ Future workª  Ÿ pPath partition Tree structure ’!small separator structure¡*9ª8  óƒ@Pÿÿÿ!!bêøúï `ð ÿÿÿ–––ÝÝÝä¨33ÌÿPPÿÏ`ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ì`ð ÿÿÿ___êêꀀ€MMMÀÀÀ`ð Ìÿÿÿ”ÿÿÌ1“ÿ™ÿÿ3™ÿÌ`ð ÿÿÿ333fÄpšKNµÄ�Ïv·I`ð ÿÿÿ–––j@vÛ©Âá¿‘³Î‚¸­H`ð ÿÿÿ€€€Q_{ŸÊÓÀÀÀ‘¯¿ìꬣ>ÿý?" dd@ÿÿï€ÿÿ,£Œÿý?n<dØ@ÿÿï€ÿÿ `7Ô `2Ð@`7ð``2€ £nÿý?" dd@ÿÿï€ÿÿ   @@``€€P£R    @ ` €`£ p£>€£> 4 ð, ð üðÊ ð( ðõõõõõõõõõõõõõõõõ ðüð¼ ðü £ ð<€Ìí¸…‡�¿Àÿ"ñ¿ð´ß ðBŸ¡Aª  ðÔ ðü ã ðT€ ñ¸…‡€�ƒ‹¦ÿŒd¿Àÿ"ñ¿ð´øÇß ðBŸ¡Aª  ð¼ ðü £ ð<€Lô¸…‡�¿Àÿ"ñ¿ð¾U_é ðBŸ¡Aª  ðÔ ðü ã ðT€¬ö¸…‡€�ƒ‹¦ÿŒd¿Àÿ"ñ¿ð¾>&é ðBŸ¡Aª  ðÎ ðü Ó ðN€¤ù¸…‡€�ƒ‹Óÿ¿Àÿ"ñ¿ð�P±š ðBŸ¡Aª  ð¼ ðü £ ð<€Äü¸…‡�¿Àÿ"ñ¿ðpàô ðBŸ¡Aª  ðø ðü C ðx€\…‡¿?€�ƒ‹¦ÿŒd¿Àÿ?¿ÿ"ñ¿†ðbUv ðBŸ¡Aª  ðÜ ð ü “ ð6€$‡�ƒ¿Àÿ "ñ¿ð…ÕUðà  ðPŸ  cN NåNè}/�ÍkGrjL˜#j_¢ ª  ð ð ü ƒ ð0€<�ƒ¿Àÿ "ñ¿ð÷é ðà  ð€Ÿ 0 cN NåNè}/�ÍkGr ,{ŒNd\ ,{ Nd\ ,{ÛVd\ ,{”Nd\¢ ª ðæ ð ü “ ð6€P ‡�ƒ¿Àÿ "ñ¿ð�@ð°ðà  ðZŸ *¡€øª ðè ð ü “ ð6€P‡�ƒ¿Àÿ "ñ¿ð�@`°ðà   ð\Ÿ *¡€úª ðè ð ü “ ð6€8‡�ƒ¿Àÿ "ñ¿ð�°`°ðà  ð\Ÿ *¡€Øª ðB ðü s ð*�“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ì º Blendsîd ï  €  ð @ððª ð( ðõõõõõõõõõõõõõõõõ ððÎðT ð+— ð ðˆ"ñ¿ð+—ðbðb ðÐP@ ð# ð ˆ"ñ¿ð·Dwoðh ð s ð*…‡�¿Àÿ"ñ¿ðÐPPð€ ð ³ ðB…‡€�ƒ‹¦ÿŒd¿Àÿ"ñ¿ð P@ðbðb ð�P 0  ð# ð ˆ"ñ¿ðNÖyðh ð s ð*…‡�¿Àÿ"ñ¿ð�P  ð€ ð ³ ðB…‡€�ƒ‹¦ÿŒd¿Àÿ"ñ¿ðàP 0 ðz ð  £ ð<…‡€�ƒ‹Óÿ¿Àÿ"ñ¿ð a*ðh ð  s ð*…‡�¿Àÿ"ñ¿ð�¤—ð¤ ð ‚  ðf…‡¿?€�ƒ‹¦ÿŒd¿Àÿ?¿ÿ"ñ¿†ðÇ+)ðâ ð  £ ð<€´ñ‡�ƒ¿Àÿ ?"ñ¿ð€p�Pðà  ðPŸ  cN NåNè}/�ÍkGrjL˜#j_¢ ª  ðØ ð  ƒ ð0€ �ƒ¿Àÿ "ñ¿ð� ` à ðà  ðRŸ  cN NåNè}/�ÍkGroRjL˜#j_¢ª ðê ð “ ð6€t‡�ƒ¿Àÿ "ñ¿ð`p €ðà  ð^Ÿ *¡€øª ðì ð “ ð6€( ‡�ƒ¿Àÿ "ñ¿ð`p�€ðà   ð`Ÿ *¡ €úª ðì ð “ ð6€ ‡�ƒ¿Àÿ "ñ¿ð`à�€ðà  ð`Ÿ *¡ €Øª ðB ð s ð*�“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìîï €ù  ð˜0ðxð0ð( ð ðxðx ðx c ð$€¸¿ÿ ˆð� ` à ðà  ð žðx ðx c ð$€t¿ÿ ˆð�p�Pðà  ð žðH ðx ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìî4ï  €ùÿÿÿ ÌðÄÐðÔð\ð( ð ðÔðx ðÔ c ð$€�–¿ÿ üˆð…ÕUðà  – ð žð¤ ðÔ c ð$€p–¿ÿ üˆð÷é ð<$ñ 0à – ð žðH ðÔ ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìîc ï €ùÿÿÿ û ðó Àð|ð‹ ð( ð ð|ðx ð| c ð$€ ø”¿ÿ üˆð…ÕUðà  ” ð žðç2 ð| # ðl€hù”…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðð` ðKŸ¨a¡‚ª  ðç2 ð| # ðl€ü”…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðð€ Ð  ðKŸ¨b¡‚ª  ðç2 ð| # ðl€–…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð  `À  ðKŸ¨d¡‚ª  ðç2 ð| # ðl€(–…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðÐ ° ð  ðKŸ¨c¡‚ª  ðˆB ð|  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ð€`€ €ðˆB ð|  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ðÐР ðˆB ð |  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ð0 `° 0 ðˆB ð |  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ð  ðˆB ð |  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ðà0à ð¢ ð |  ð`€|–…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðÇ ƒ4 ð}Ÿ¨ V={a,b,c,d}¡B ‚  ‚  ª  ðV¢ ð|  ð`€x–…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð  Ü e  𸟨E={ab,ac,ad,bc,cd}¡B‚  ‚  ª@     ðࢠð|  ð`€ø–…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð0°ã� ðPŸ¨vertex¡C ª  ðÞ¢ ð|  ð`€–…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ðÕ&ÄB  ðNŸ¨edge¡C ª  ðH ð| ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìîï € Ëððð ð[ð( ð ððr ð S ð€ˆÞ”¿ÿ üð…ÕUðà  ” ð žðç2 ð # ðl€Ðß”…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðð €Ð  ðKŸ¨a¡‚ª  ðç2 ð # ðl€ìá”…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðð ð @  ðKŸ¨b¡‚ª  ðç2 ð # ðl€Ðæ”…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðÐ pð ðKŸ¨c¡‚ª  ðˆB ð  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ð€ Ðð � ðˆB ð   ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ð € � ð¢ ð   ð`€Dê”…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðÇ î“4  ð{Ÿ¨ V={a,b,c}¡B ‚  ‚  ª  ð3¢ ð   ð`€ð”…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð   ð•Ÿ¨ E={ab,bc}¡B ‚  ‚  ª&   ð`² ð c ð$A ?¿ÿ?ð°0 $ð Á ðH ð ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìî ï €ùÿÿÿ °ð¨ ð äð@ð( ð ðäðx ðä c ð$€<È”¿ÿ üˆð…ÕUðà  ” ð žðç2 ðä # ðl€„É”…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðð` ðKŸ¨a¡‚ª  ðç2 ðä # ðl€Ì”…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðð€ Ð  ðKŸ¨b¡‚ª  ðç2 ðä # ðl€$Д…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð  `À  ðKŸ¨d¡‚ª  ðç2 ðä # ðl€¸Ó”…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðÐ ° ð  ðKŸ¨c¡‚ª  ðˆB ðä  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ð€`€ €ðˆB ðä  ð`…¿D¿ÀËÔ”Öÿ?¿ÿ?„†ðÐР ðˆB ð ä  ð`…¿D¿ÀËÔ”Öÿ?¿ÿ?„†ð0 `° 0 ðˆB ð ä  ð`…¿D¿ÀËÔ”Öÿ?¿ÿ?„†ð  ðˆB ð ä  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ðà0à ðü¢ ðä  ð`€ˆØ”…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðÐ †=  ð^Ÿ¨adcb¡‚ ª  ðH ðä ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìî·ï € gð_�ðØð÷ð( ð ðØðr ðØ S ð€èŒ¿ÿ üð…ÕUðà  ” ð žðE¢ ðØ ã ðT€pÀ”¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð‹–�^  ðÁŸ¨kA path partition of a graph is a collection of vertex-disjoint paths that cover all vertices of the graph. ¡llC ªk  ðH ðØ ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33ÌîÈ ï €ùÿÿÿ ` ðX €ð'èñðäð( ð ðèðx ðè c ð$€X¶”¿ÿ üˆð…ÕUðà  ” ð žð@B ðè@ C ðÀËÔ”ÿˆðXAÈ êð@B ðè C ðÀËÔ”ÿˆðêAš ð@B ðè C ðÀËÔ”ÿˆðXÈ O êð@B ðè@ C ðÀËÔ”ÿˆðêö O  ð:B ðè 3 ðË›ÿˆð šö  ð@B ð è C ðÀËÔ”ÿˆð ö ÷ ð:B ð è 3 ðË›ÿˆð ö Sð@B ð è@ C ðÀËÔ”ÿˆðö Sð–2 ð è  ð`…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†ˆ"ñ¿‚‚ð` P ð–2 ð è  ð`…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†ˆ"ñ¿‚‚ð€ÐÀpð–2 ðè  ð`…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†ˆ"ñ¿‚‚ðp ` ð–2 ðè  ð`…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†ˆ"ñ¿‚‚ð€ð à pð–2 ðè  ð`…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†ˆ"ñ¿‚‚ð    � � ð–2 ðè  ð`…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†ˆ"ñ¿‚‚ð`  � Pð–2 ðè  ð`…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†ˆ"ñ¿‚‚ð° ð ð�2 ð#è ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðP  �@ ð4B ð$è€ # ð Ë›ÿðà � ÐÐ ð�2 ð%è ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð ÐÀ ð:B ð&è€ 3 ðÀËÔ”ÿð° �а ðH ðè ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìî[ï €  ðpðàð›ð( ð ðàðx ðà c ð$€”¨”¿ÿ üˆð…ÕUðà  ” ð žð㢠ðà ã ðT€œ©”¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð‹–�‘  ð_Ÿ¨�The path-partition problem is to find the path-partition number p(G) of a graph G, which is the minimum cardinality of a path partition of G. ¡”�AC ‚  ‚  C ‚ :C ‚ C ª�  ðH ðà ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìîd ï €ùÛb ü ðô `ðˆðŒ ð( ð ðˆðx ðˆ c ð$€\œ”¿ÿ üˆð…ÕUðà  ” ð žðòðF ðÐðP ðˆ ðˆðÐðPðBB ðˆB 3 ðÀËÔ”ÿðAXÈ êðBB ðˆ 3 ðÀËÔ”ÿðAêš ðBB ðˆ 3 ðÀËÔ”ÿðÈ XO êðBB ðˆB 3 ðÀËÔ”ÿðö êO  ð<B ðˆ # ð Ë›ÿðš ö  ðBB ð ˆ 3 ðÀËÔ”ÿðö  ÷ ð<B ð ˆ # ð Ë›ÿðö  SðBB ð ˆB 3 ðÀËÔ”ÿðö Sð˜2 ð ˆ ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð` P ð˜2 ð ˆ ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðЀÀpð˜2 ðˆ ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð p ` ð˜2 ðˆ ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðð €à pð˜2 ðˆ ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð    � � ð˜2 ðˆ ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð  `� Pð˜2 ðˆ ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð° ð ð�2 ðˆ ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðP  �@ ð4B ðˆ€ # ð Ë›ÿðà � ÐÐ ð�2 ðˆ ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð ÐÀ ð:B ðˆ€ 3 ðÀËÔ”ÿð° �а ð, ðˆ  ðf€¤ ”…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ðP @Å0 𖟨p(G)=2¡Tƒ,�,ƒ,�,ª  ðH ðˆ ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìî° ï € ` ðX Pðñðäð( ð ððr ð S ð€´’”¿ÿ üð…ÕUðà  ” ð žð@B ð@ C ðÀËÔ”ÿˆðXAÈ êð@B ð C ðÀËÔ”ÿˆðêAš ð@B ð C ðÀËÔ”ÿˆðXÈ O êð@B ð@ C ðÀËÔ”ÿˆðêö O  ð@B ð C ðÀËÔ”ÿˆð šö  ð@B ð  C ðÀËÚÿˆð ö ÷ ð:B ð  3 ðË›ÿˆð ö Sð@B ð @ C ðÀËÚÿˆðö Sð–2 ð   ð`…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†ˆ"ñ¿‚‚ð` P ð–2 ð   ð`…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†ˆ"ñ¿‚‚ð€ÐÀpð–2 ð  ð`…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†ˆ"ñ¿‚‚ðp ` ð–2 ð  ð`…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†ˆ"ñ¿‚‚ð€ð à pð–2 ð  ð`…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†ˆ"ñ¿‚‚ð    � � ð–2 ð  ð`…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†ˆ"ñ¿‚‚ð`  � Pð–2 ð  ð`…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†ˆ"ñ¿‚‚ð° ð ð�2 ð ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðP  �@ ð4B ð€ # ð Ë›ÿðà � ÐÐ ð�2 ð ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð ÐÀ ð:B ð€ 3 ðÀËÚÿð° �а ðH ð ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìînï € ð@ð"ðñð¢ð( ð ðððx ðð c ð$€@”¿ÿ üˆð…ÕUðà  ” ð žðdð8 ðÐðÐ  ð"ððÀ€pÀ ðï2 ðð # ðl€ˆ€”…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðÐPð ðKŸ¨a¡‚ª  ðï2 ðð # ðl€ ƒ”…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð€ P   ðKŸ¨d¡‚ª  ð.ð@ ðÀÐðÐ  ð!ððÀÐðÐ ðï2 ðð # ðl€<ˆ”…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðpÐÀð ðKŸ¨b¡‚ª  ðï2 ðð # ðl€°‹”…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð ° ðÐ  ðKŸ¨c¡‚ª  ð�B ðð  ð`…¿D¿ÀËÔ”Öÿ?¿ÿ?„†ðP`p`ð�B ðð  ð`…¿D¿ÀËÔ”Öÿ?¿ÿ?„†ðÀðÀ€ ð�B ð ð  ð`…¿D¿ÀËÔ”Öÿ?¿ÿ?„†ðP   ð�B ð ð  ð`…¿D¿ÀËÔ”Öÿ?¿ÿ?„†ððà ð�B ð ð  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ð ÀÐà ð@B ðð@ C ðÀËÚÿˆðøñ xŠð@B ðð C ðÀËÚÿˆðŠñ J ° ð@B ðð C ðÀËÚÿˆðøxÿŠð@B ðð@ C ðÀËÚÿˆðЦÿ¿ ð:B ðð 3 ðË›ÿˆð° J ¦¿ ð@B ðð C ðÀËÚÿˆð¿ ¦§¨ð:B ðð 3 ðË›ÿˆð¿ ¦³ ð@B ðð@ C ðÀËÚÿˆð³ ¦¨ð–2 ðð  ð`…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†ˆ"ñ¿‚‚ð° ð–2 ðð  ð`…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†ˆ"ñ¿‚‚ð € p ð–2 ðð  ð`…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†ˆ"ñ¿‚‚ð Ð À ð–2 ðð  ð`…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†ˆ"ñ¿‚‚ð  �ð–2 ðð  ð`…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†ˆ"ñ¿‚‚ð@ P@0 ð–2 ðð  ð`…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†ˆ"ñ¿‚‚ðP@ðð–2 ðð  ð`…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†ˆ"ñ¿‚‚ðP ° @ðH ðð ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìîöï € ¦ðž0ðTð6ð( ð ðTðx ðT c ð$€w”¿ÿ üˆð…ÕUðà  ” ð žð:B ðT@ 3 ðÀËÚÿðXAÈ êð:B ðT 3 ðÀËÚÿðêAš ð:B ðT 3 ðÀËÚÿðXÈ O êð:B ðT@ 3 ðÀËÚÿðêö O  ð4B ðT # ð Ë›ÿð šö  ð�2 ðT ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð` P ð�2 ð T ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð€ÐÀpð�2 ð T ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðp ` ð�2 ð T ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð€ð à pð�2 ð T ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð    � � ð:B ð T@ 3 ðÀËÚÿðàÀ p ð:B ðT@ 3 ðÀËÚÿðÀð ð:B ðT 3 ðÀËÚÿðð Ð   ð:B ðTÀ 3 ðÀËÚÿð@ÀÐ   ð:B ðT€ 3 ðÀËÚÿð@àð p ðH ðT ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìî˜ ï  €ùÿÿÿ 0 ð( ð ŒðÀð( ð ðŒðx ðŒ c ð$€lW”¿ÿ üˆð…ÕUðà  ” ð žðx ðŒ c ð$€(X”¿ÿ üˆð÷ ðà ” ð žðᢠðŒ  ð`€\Y”…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð… y¥  ðQŸ¨ Hamiltonian¡  ª  ð¢ ðŒ  ð`€t]”…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð5 Â; ðtŸ¨min p ¡< A‚‚Aª  ð­ðF ð�À    ðŒ ðˆðÀ �  ðï2 ðŒ # ðl€\c”…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð�À `  ðKŸ¨G¡‚ª  ð�B ðŒ  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ð� @ € ð�B 𠌂  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ð� @ € ð�B ð Œ  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ð` à à ð�B ð Œ  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ð�  ð2 ð Œ # ðl€øg”…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðÐ À    ð\Ÿ¨Kp¡(‚ ‚çÿª ðÞ¢ ðŒ  ð`€”¿ÿ üˆð…ÕUðà  ” ð žð«ðF ð�À    ð� ðˆðÀ �  ðï2 ð� # ðl€”?”…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð�À `  ðKŸ¨G¡‚ª  ð�B ð�  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ð� @ € ð�B ð�‚  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ð� @ € ð�B ð�  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ð` à à ð�B ð�  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ð�  ðþ2 ð � # ðl€DD”…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðÐ À    ðZŸ¨K0¡(‚Içÿª  ð· ð �  ðf€ØH”…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð¡›³ t  ðŸ¨G: Hamiltonian SH(G)=0 p(G)=1¡Äƒ C ƒ  ƒ çÿ� ƒ � C ƒ � ƒ �  ª ðH ð� ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìî#ï €ù »ð³ð ”ðKð( ð ð”ðx ð” c ð$€0(”¿ÿ üˆð…ÕUðà  ” ð žðø2 ð” # ðl€x)”…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðÀ Ð    ð\Ÿ¨K2¡(‚ ‚çÿª ðË ð”  ðf€,”…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð§= z  ð'Ÿ¨G : K1 SH(G)=2 p(G)=1¡àƒ � ƒ  ƒ çÿƒ  ƒ çÿ� ƒ �  ƒ � ƒ �  ª ð�2 ð” ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðÀ P@° ð�B 𔀠ó ðZ…‡¿D¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð @0 ð ð�B ð” ó ðZ…‡¿D¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðP @ @ðH ð” ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìîkï €ùÿÿÿ ðûðð˜ð“ð( ð ð˜ðx ð˜ c ð$€”ý’¿ÿ üˆð…ÕUðà  ’ ð žð[ ð˜  ðf€€”…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðp ÇÝ ð·Ÿ¨!G: is not Hamiltonian and not K1 ¡V"ƒ C ƒ  ƒ çÿC ª!  ð€ ð˜ ó ðZ€|”¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð àu ð蟨 SH(G)=p(G)¡ž (2ƒ  ƒ çÿ� ƒ � C ƒ � ƒ � ª   ð" ð˜ ã ðúB CODEÁÌFÁÔ¿ÀÄËg Îÿˆ33ðÿ þöëÞÑÁ° ž‹vaM"6( 0 8õBÞKÊWµc¢rŽ€}�m ^³PÇEÚ:ð0& 2J`w �£¸Íàó#/:BHMOgh@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬€ðð P€2 ð2 ð˜ ã ð B©CdDEÁÔFÁÜ¿ÀÄËg Îÿˆ55ðÿ (5DT e wŠŸ´ È&Ý.ô6 @ K5XLe`suƒˆ•œ¨¯»¿ÒÏèßíú1Mf€%›-µ5Î<èBHM-RCUVXh\x_†`‘b›b£d¨d©dkl@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬€ð  Pð" ð˜ ã ðúB{C{DEÁÌFÁÔ¿ÀÄËg Îÿˆ33ðÿ "/=O b uŠ ·Ï%ç-ÿ5=0HHS`^xmŽ{¥‰º›Í­àÁðÖí(13K=cF{N•V­]ÃbÛfñknr-u=vMxYzeznzu{y{{gh@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬€ðð СH ð" ð˜ ã ðúBNC8DEÁÌFÁÔ¿ÀÄËg Îÿˆ33ðÿNLLK KG F/C=?M<`7s3ˆ,�&³Êâøû(ï?ãUÖkÉ€¹•©¨—º†ÊsØ_çKò6ý ôÞÉ#´( +‹/x2f3T5D767(788 8777gh@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬€ðP =€ð�2 ð ˜ ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� ° € ð�2 ð ˜ ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð` P ð�2 ð ˜ ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð ð ð�2 ð ˜ ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð €p�ð�B ð ˜ ó ðZ…‡¿D¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð° ð ° ° ð�2 ð˜ ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðP à Ð@ ð�B 𘀠ó ðZ…‡¿D¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð° 0P° ð„¢ ð˜  ð`€�”…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð‡Ö®ô ðôŸ SH(G) ³ð p(G)¡ª ƒ  ƒ çÿ� ƒ � à � ƒ � ƒ � ª  ð„¢ ð˜  ð`€L”…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ðÐ @ =  ðôŸ SH(G) £ð p(G)¡ª ƒ  ƒ çÿ� ƒ � à � ƒ � ƒ � ª  ðH 𘠃 ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìî.ï  €ù“H Æð¾ ð!œðVð( ð ðœðx ðœ c ð$€xß¿ÿ üˆð…ÕUðà   ð žðì¢ ðœ  ð`€là…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ðÐp& = ð\Ÿ¨Algorithmic view¡C ª ðØ2 ðœ  ðf€¤å…‡¿�¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð  0à  ðBŸ¡ª ðÞ2 ðœ # ðl€,è…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð� Ð`@ ðBŸ¡ª ðç¢ ðœ  ð`€Lë…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð ftr  ðWŸ¨ NP-complete¡  C ª  ðõ¢ ð!œ  ð`€Äî…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð0 @=�  ðeŸ¨Polynomial-time algorithm¡C ª ðH 𜠃 ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33ÌîŠï € :ð2àð€ðÊð( ð ð€ðr ð€ S ð€Üõ’¿ÿ üð…ÕUðà  ’ ð žð ð€ ó ðZ€÷’¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð ð@ ðŽŸ¨@Is the path-partition problem is NP-complete for general graphs?¡A 2AC ªA ðH ð€ ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33ÌîÁï € qðiÐðxðð( ð ðxðr ðx S ð€î’¿ÿ üð…ÕUðà  ’ ð žðO¢ ðx  ð`€Hï’…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ðp˜€C  𿟨eAs the Hamiltonian path problem is NP-complete for general graphs, so is the path-partition problem.¡ffC ªe  ðH ðx ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìîóï  €ùÿÿÿ ‹ðƒÀðôðð( ð ðôðx ðô c ð$€H»’¿ÿ üˆð…ÕUðà  ’ ð žðê2 ðô # ðl€¸¼’…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðpð�ð ðNŸ¨tree¡ª ðî2 ðô # ðl€lÀ’…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðP P ° Ð  ðRŸ¨interval¡  ª  ðæ2 ðô  ðf€xÃ’…‡¿�¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðÀ ðÀ ðPŸ¨planar¡ª ðò2 ðô # ðl€4Ç’…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðPà �  ðVŸ¨ circular-arc¡  ª  ðë2 ðô # ðl€”Ë’…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðÀ À�à  ðOŸ¨block¡ª ðÿ2 ðô  ðf€\·’…‡¿�¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð` àp @ ðiŸ¨chordal bipartite¡ª   ðõ2 ð ô  ðf€tÒ’…‡¿�¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðàÀP`  ð_Ÿ¨chordal¡ª  ð 2 ð ô  ðf€Ö’…‡¿�¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð @p  ðvŸ¨strongly chordal¡ª*    ðû2 ð ô # ðl€ÈÙ’…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð Àð  ð_Ÿ¨cograph¡ª  ð2 ð ô # ðl€€Ý’…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðР € ðgŸ¨cocomparability¡ª  ð2 ð ô # ðl€Há’…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðÐð P ðgŸ¨bipartite distance hereditary¡ª ðé2 ðô  ðf€Œå’…‡¿�¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð€ €à0  ðSŸ¨ bipartite¡  ª  ð‚B ðô€ ó ðZ…¿D¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðà `€Ðð‚B ðô ó ðZ…¿D¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð@@@@ð‚B ðô ó ðZ…¿D¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðà @@pð‚B ðô ó ðZ…¿D¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð ppÀ ð‚B ðô ó ðZ…¿D¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð`    ð‚B ðô€ ó ðZ…¿D¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð P ð€ ð‚B ðô@ ó ðZ…¿D¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð 0 À P ð‚B ðô ó ðZ…¿D¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð  °À` ð‚B ðô ó ðZ…¿D¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðP p Ðð‚B ðô ó ðZ…¿D¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð� �ð‚B ðô ó ðZ…¿D¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð€pp ð�B ðô ó ðZ…‡¿D¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð0 00ðH ðô ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33ÌîÝï € �ð…°ð øðð( ð ðøðr ðø S ð€p¡’¿ÿ üð…ÕUðà  ’ ð žðg¢ ðø  ð`€¤¢’…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð¦6çy  ðן¨IA graph G is connected if each pair of vertices in G belongs to a path.¡\JC ‚ +C ‚ C ªJ ðé2 ðø # ðl€Xª’…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðÐ0 € ð  ðMŸ¨a¡‚ª ðé2 ðø # ðl€H®’…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðРðð  ðMŸ¨b¡‚ª ðé2 ðø # ðl€@±’…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð€ 0 €   ðMŸ¨d¡‚ª ðé2 ðø # ðl€,´’…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð° Ð Ð ðMŸ¨c¡‚ª ðˆB ðø  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ð` €  ` ðˆB ð ø  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ðð ð ð € ðˆB ð ø  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ð€ ÐðˆB ð ø  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ðð 00à ðH ðø ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìî  ï € P ðH  ð üðàð( ð ðüðr ðü S ð€�‡’¿ÿ üð…ÕUðà  ’ ð žð9¢ ðü  ð`€Äˆ’…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð¥6èE 𩟨AThe components of a graph G are its maximal connected subgraphs.¡BBC ª*7    ðé2 ðü # ðl€L�’…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð� P °  ðMŸ¨a¡‚ª ðé2 ðü # ðl€ä�’…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð`  ` €  ðMŸ¨b¡‚ª ðé2 ðü # ðl€ì“’…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð@P ` ðMŸ¨d¡‚ª ðé2 ðü # ðl€€—’…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð@@ � ` ðMŸ¨c¡‚ª ðˆB ð ü  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ð° @ðˆB ð ü  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ð€     pðé2 ð ü # ðl€À›’…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðp p�  ðMŸ¨a¡‚ª ðˆB ðü€  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ðP @P  ðˆB ðüÀ  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ð` @€pðH ðü ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìîè ï € ˜ ð� �ðð( ð( ð ððr ð S ð€Ì{’¿ÿ üð…ÕUðà  ’ ð žð>¢ ð  ð`€}’…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ðuÆH  𮟨XA cut-vertex of a graph is a vertex whose deletion increases the number of components.¡$YXC ªY ð4B ð # ð Ëg ÿð“} �  ð4B ð@ # ð Ëg ÿð“� Ÿ ð4B ð@ # ð Ëg ÿð } � ªð4B ð # ð Ëg ÿð � Ÿªð4B ð@ # ð Ëg ÿðª} Ÿ«ð4B ð  # ð Ëg ÿð“} Ÿ”ð�2 ð  ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð0à Ð ð�2 ð  ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð0ð ð�2 ð  ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð  � ð�2 ð  ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð@ 0 ð�2 ð ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð@0 0 ð4B ð@ # ð Ëg ÿðªMo«ð4B ð # ð Ëg ÿð“Mo”ð�2 ð ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð0°  ð�2 ð ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð0ÐÀ ð�2 ð ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð@àÐ0 ð�2 ð ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð@ð0 ðH ð ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìî6ï € æðÞ€ð ðvð( ð ð ðr ð  S ð€ôq’¿ÿ üð…ÕUðà  ’ ð žðH¢ ð   ð`€(s’…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð¥&5x  𸟨PA block of a graph G is a maximal connected subgraphs that has no cut-vertex. ¡QQC ª*-    ð4B ð @ # ð Ëg ÿðo ú ð4B ð  # ð Ëg ÿðo /ú ð4B ð @ # ð Ëg ÿðú /û ð�2 ð  ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð€ p ` pð�2 ð  ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð€ �€pð�2 ð  ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðð °  à ðH ð  ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìîîï € žð–pð ð.ð( ð ððr ð S ð€ k’¿ÿ üð…ÕUðà  ’ ð žð�2 ð ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð ÐÀ�ð�2 ð ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð ÐÀ� ð�2 ð ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð ÐÀð ð�2 ð ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðÀ °ð�2 ð ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðP  @ ð:B ðÀ 3 ðÀËÚÿð`À ð:B ð À 3 ðÀËÚÿð�� € ð:B ð @ 3 ðÀËÚÿðPÀ ð:B ð À 3 ðÀËÚÿð À € ð:B ð @ 3 ðÀËÚÿð€� ð:B ð @ 3 ðÀËÚÿð° À 0 ðH ð ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìî×ï € ‡ð`ð dðð( ð ðdðr ðd S ð€dY’¿ÿ üð…ÕUðà  ’ ð žð�2 ðd ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð@0 ð�2 ðd ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð€�€pð�2 ðd ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð€P @ pð�2 ðd ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð À° ð�2 ðd ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðP @0 @ ðˆB ð d@  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ðÐPp€ðˆB ð d  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ðÐ0 à °ðˆB ð d@  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ð@€� ðˆB ð d  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ðpPpP ðù¢ ð d  ð`€Ü]’…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð �   ðiŸ¨H. A. Jung 1978¡C ª  ð,¢ ðd  ð`€q  ð~Ÿ ,x: a specified vertex of a graph H in which f is a vertex labeling. i=0,1,2,3 f i :V(H)®ð{0,1,2,3} f i(y)=f(y) for all vertices y except f i(x)=i.¡—‚ C ‚ C ‚ C  ‚  C ‚  ‚ çÿC ‚ C ‚ C à C ‚  ‚ çÿC ‚ C ‚ C ‚ C ‚ C ‚  ‚ çÿC ‚ C ‚ C ª–  ðH ð$ ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33ÌîÂï € rðjðð(ðð( ð ð(ðr ð( S ð€Hf‘¿ÿ üð…ÕUðà  ‘ ð žðP¢ ð( ã ðT€À˜‘¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ðLV㸠 ðÌŸ б=pf0(B)-pf1(B) ²=pf1(B)-pf2(B) 1 f(x)=0 Þð pf(G)=pf(A)+pf(B)-1. 2 f(x)=1 Þð pf(G)=pf1-±(A)+pf±(B)-1.¡Ìi ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  C  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  C ‚  ‚  ƒ  ‚  ‚ çÿ ‚  ‚  ‚ çÿ ‚  ‚  ‚ çÿ ‚  C ‚  ‚  ƒ  ‚  ‚ çÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ª i ðH ð( ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìî8 ï € èðààð0ðxð( ð ð0ðr ð0 S ð€ÈZ‘¿ÿ üð…ÕUðà  ‘ ð žð&¢ ð0  ð`€@b‘…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð@ÐÅ ð–Ÿ D 3 f(x) ³ð 2 and ±=²=0 Þð pf(G)=pf(A)+pf0(B)-1. 4 f(x)³ð2 and ±=0 and ²=1 Þð pf(G)=pf3(A)+pf(B). 5 f(x) ³ð 2 and ±=1 Þð pf(G)=pf1-² (A)+pf1+²(B)-1. ¡£C ‚  ‚  ƒ  ƒ  ‚  ‚ çÿ ‚  ‚  ‚ çÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  C ‚  ‚  ƒ  ƒ  ‚  ‚ çÿ ‚  ‚  ‚ çÿ ‚ Îÿ ‚  ‚  ‚ çÿ ‚  C ‚  ‚  ƒ  ƒ  ‚  ‚ çÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ª¢  ð`² ð0 c ð$A ?¿ÿ?ð@ h  ð Á ð`² ð0 c ð$A ?¿ÿ?ð@ h  ð Á ð`² ð0 c ð$A ?¿ÿ?ð@ h  ð Á ð`² ð0 c ð$A ?¿ÿ?ð@ h  ð Á ðH ð0 ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìî¤ï € TðLÐðtðäð( ð ðtðr ðt S ð€lF‘¿ÿ üð…ÕUðà  ‘ ð žð2¢ ðt  ð`€„K‘…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ðÖf©  𢟨2Pf (B)=pf (B-f -1(0)) +|f -1(0)|. WLOG f -1(0)=Ø¡43‚  ‚ çÿ ‚  ‚  ‚ çÿ ‚  ‚    ‚    C ‚    #  ª2  ðH ðt ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33ÌîÚï € Šð‚Àð@ðð( ð ð@ðr ð@ S ð€(+‘¿ÿ üð…ÕUðà  ‘ ð žðh¢ ð@  ð`€D-‘…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ðFf L  ðØŸ ¦B: complete graph. f -1(1) `"Ø or f -1(2)=Ø Þð pf(B)=éð |f -1(1)|/2 ùð else pf(B)=1.¡öT‚  ‚ C  ‚    # C ‚    # C à C  ‚  ‚ çÿ ‚  ƒ  ‚    à C ‚  ‚ çÿ ‚  C ªS  ðH ð@ ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33ÌîN ï € þðö°ðDðŽð( ð ðDðr ðD S ð€P¹�¿ÿ üð…ÕUðà  � ð žðÜ¢ ðD  ð`€ø‘…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð@Ë\ ðLŸ *B is a path x: end vertex of B with f(x)=3 Þð pf(B)=pf(B-x). x: end vertex of B with f(x)=2 Þð pf(B)=pf1(B). B: end vertex x and another vertex y with f(x)=f(y)=1 no vertex between x and y has a label 1 Þð pf(B)=pf(B  )+1 B : path obtained from B by deleting [x, y].¡æ C ‚ C ‚ C ‚  ‚  C à ‚  ‚ çÿ ‚  ‚  ‚ çÿ ‚  ‚  C ‚ C ‚ C ‚  ‚  C à ‚  ‚ çÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  C ‚ C ‚ C ‚ C ‚  ‚  ‚  ‚  C ‚ C‚ C ‚ C à C ‚  ‚ çÿ ‚  ‚   çÿ ‚ C  C ‚ C ‚ C  ‚  ‚  C ª  ðH ðD ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìî|ï € ,ð$ ðHð¼ð( ð ðHðr ðH S ð€h³�¿ÿ üð…ÕUðà  � ð žð ¢ ðH  ð`€À¸�…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ðÖ_‚  ðzŸ øB is a cycle. f -1(2)=Ø Þð pf(B)=éð|f -1(1)|/2ùð. P: [x,y] in B such that f -1(1) )"P ={x,y} and f -1(2) )"P`"ØÞð pf(B)=pf(B-P)+1.¡F}‚ C ‚    # C à ‚  ‚ çÿ ‚  ƒ  ‚    ƒ C ‚ C  ‚  ‚  C ‚ C ‚    ‚  ‚  ‚  C ‚    ‚ C # à  ‚  ‚ çÿ ‚  ‚  ‚ çÿ ‚  ‚  C ª|  ðH ðH ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìî˜ ï € H ð@ �ð LðØ ð( ð ðLðr ðL S ð€Øl�¿ÿ üð…ÕUðà  � ð žðÜ¢ ðL  ð`€r�…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ðÐï  ðLŸ àB is a complete bipartite graph c1=d1=0 and c2³ð d2 and xÎðC2Þð pf(B)=pf '(B) f ' is the same as f except f '(x)=1.¡0q‚ C ‚   çÿ ‚   çÿ C ‚   çÿƒ ‚   çÿC ‚ ƒ ‚   çÿà  ‚  ‚ çÿ ‚  ‚  ‚ çÿ ‚  ‚ C ‚ C ‚  ‚  C ªp  ð*2 ðL # ðl€Lt�…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð@  Pð ðŽŸ¨C1 C2 C3¡V ‚ çÿ‚ çÿ‚ çÿª  ðÛ¢ ðL  ð`€ ’�…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ðl æÙ  ðKŸ¨C¡‚ ª  ð*2 ðL # ðl€È•�…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð@ `  ð ðŽŸ¨D1 D2 D3¡V ‚ çÿ‚ çÿ‚ çÿª  ðÛ¢ ð L  ð`€¸��…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð` Ð ý Í  ðKŸ¨D¡‚ ª  ð2 ð L # ðl€8¡�…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð ðÀ ðrŸ¨x f(x)=2¡: ‚‚ª  ðì¢ ð L  ð`€¨§�…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð` €ñÍ  ð\Ÿ Þð¡*à C ª  ð2 ð L # ðl€t¬�…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð@ 0ð ðrŸ¨x f(x)=1¡: ‚‚ª  ðH ðL ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìîj ï €  ð €ð Pðª ð( ð ðPðr ðP S ð€4*�¿ÿ üð…ÕUðà  � ð žðÜ¢ ðP  ð`€ü/�…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð°0æé  ðLŸ xÎðC1. Also, either d2³ð1 with yÎðD2, or else c1>d1 and d2=0<d3 with yÎðD3. Then pf(B)=pf '(B-x), where f' is the same as f except f'(y)=1.¡ˆ‚ ƒ ‚   çÿC ‚   çÿƒ  C ‚ ƒ ‚   çÿ C ‚   çÿ ‚   çÿC ‚   çÿ ‚   çÿC ‚ ƒ‚ ‚  ‚ çÿC ‚  ‚ çÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  çÿ ‚  ‚  C ‚ C ‚ C ‚  ‚  C ª‡  ð2 ðP # ðl€!�…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðp @  ðrŸ¨x f(x)=1¡: ‚‚ª  ð2 ðP # ðl€ÔX�…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð  ðÀ P ðrŸ¨y f(y)=2¡: ‚‚ª  ðì¢ ðP  ð`€ÐT�…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð� à Q ý  ð\Ÿ Þð¡*à C ª  ðÞ2 ð P # ðl€(b�…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð@ àð ðBŸ¡ª ð2 ð P # ðl€He�…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð@ `0ð ðrŸ¨y f(y)=1¡: ‚‚ª  ðH ðP ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33ÌîM ï €ùÿÿÿ å ðÝ pð¤ñði ð( ð ð¤ðx ð¤ c ð$€¼�¿ÿ üˆð…ÕUðà  � ð žð¢ ð¤ ã ðT€, �¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð0P€� ð�Ÿ¨7f-path partition: a collection of vertex-disjoint paths¡&8‚ 7 ª 8 ð(ðF ð0p �  ð¤ ðˆð@Ð@` ðé2 ð¤  ðf€´û …‡¿�¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð€p �  ðKŸ¨a¡‚ª  ðᢠð¤  ð`€÷ …‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð0p �  ðIŸ¨0¡ª ð4ðL ðæ«à ð¤# ð ˆð Õðï2 ð¤ # ðl€ì�…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðà«Ë ðKŸ¨d¡‚ª  ðᢠð ¤  ð`€„�…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ðæÀÃà ðIŸ¨3¡ª ðÀðL ð�; P [  ð ¤# ð ˆð€ Ð�   ðé2 ð ¤  ðf€ �…‡¿�¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðà; [  ðKŸ¨b¡‚ª  ðᢠð ¤  ð`€d�…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð�; m[  ðIŸ¨1¡ª ðŠB ð ¤ ó ðZ…¿D¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðË P Ë ðç2 ð¤ # ðl€Ä�…‡¿�Ìÿ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ˆðÀ 0 à  ðKŸ¨c¡‚ª  ðߢ ð¤  ðf€Ü#�…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ˆðp @ �  ðIŸ¨2¡ª ðˆB ð¤  ð`…¿D¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ˆðP P ðˆB ð¤  ð`…¿D¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ˆðP 0 À P ð`² ð¤ c ð$A ?¿ÿ?ðàÐ0 8ð Á ðH 𤠃 ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33ÌîG!ï €ù ß ð× Pð*,¨ðo ð( ð ð¨ðÕ ð¨ “ ð6€C‡�ƒ¿Àÿ ð…ÕU ðoŸ¨Example¡,ª  ¦ððz ð¨ ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ð�`Csðz ð¨ ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ðà`CÃðz ð¨ ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�Ìÿ¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ð` `CC ðz ð¨ ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ðà `Cà ðé¢ ð¨  ð`€$L…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðE¢e ðKŸ¨0¡ª ðé¢ ð¨  ð`€tP…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðõ¢  ðKŸ¨1¡ª ðé¢ ð ¨  ð`€èS…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðE ¢e  ðKŸ¨2¡ª ðé¢ ð ¨  ð`€¸V…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðÅ ¢å  ðKŸ¨3¡ª ð° ð ¨ £ ð<€Z�‚ƒà¥„…¿�¿ÿðÔ™+ º ðDŸ¡‚ª ðFB ð ¨ S ðƒà¥…¿Ëg ÿ𷸹š ðFB ð ¨ S ðƒà¥…¿Ëg ÿðE) Fð° 𨠣 ð<€ _�‚ƒà¥„…¿�¿ÿðÔ" ¹ º ðDŸ¡‚ª ð° 𨠣 ð<€àb�‚ƒà¥„…¿�¿ÿð` ™+ F  ðDŸ¡‚ª ðFB ð¨ S ðƒà¥…¿Ëg ÿðò¸¹ÕðFB ð¨ S ðƒà¥…¿Ëg ÿðEî Ñ FðFB ð¨ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð~ ¸¹a ðFB ð¨ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð ) ðFB ð¨ S ðƒà¥…¿Ëg ÿðÑ ) Ò ðFB ð¨ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð~ | } a ðFB ð¨À S ðƒà¥…¿Ëg ÿð˜Eh¼ ðFB ð¨ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð}�Fê ðFB ð¨ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð·ñòš ðFB ð¨ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð·-.š ðFB ð¨ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð˜~ º ðFB ð¨@ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð˜ 0 ¿ ðFB ð¨@ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð•}£¼ ðé2 ð¨  ð`€ˆh…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°Ð À   ðKŸ¨g¡‚ª  ðé2 ð¨  ð`€ k…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°ð à   ðKŸ¨f¡‚ª  ðé2 ð¨  ð`€(o…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð@0 ð ðKŸ¨h¡‚ª  ðé2 ð ¨  ð`€¼r…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðp @0 `  ðKŸ¨a¡‚ª  ðé2 ð!¨  ð`€üv…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðp ð à `  ðKŸ¨b¡‚ª  ðé2 ð"¨  ð`€8z…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� ð à €  ðKŸ¨c¡‚ª  ðé2 ð#¨  ð`€œ}…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°°   ðKŸ¨j¡‚ª  ðé2 ð$¨  ð`€¤€…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� ° €  ðKŸ¨l¡‚ª  ðé2 ð%¨  ð`€ðƒ…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°�€  ðKŸ¨i¡‚ª  ðé2 ð&¨  ð`€<‡…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� �€€  ðKŸ¨k¡‚ª  ðé2 ð'¨  ð`€ˆŠ…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°@0   ðKŸ¨e¡‚ª  ðé2 ð(¨  ð`€p‰…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� @0 €  ðKŸ¨d¡‚ª  ðô¢ ð)¨  ð`€¼Œ…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð—€  ðVŸ¨Path Partition¡ª  ðŒ ð+¨ ó ðZ€ì•¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð À Z ðŸ V±=pf0(B)-pf1(B)=2-1=1 ²=pf1(B)-pf2(B)=1-1=0¡|, 2 ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  C  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ª , ðH 𨠃 ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìî>ï € îðæ`ðXð~ð( ð ðXð² ðX ó ðZ€ ¯¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ðp@€w  ð(Ÿ ¶ f(x) ³ð 2 and ±=1 Þð pf(G)=pf1-² (A)+pf1+²(B)-1 = pf1 (A)+1-1= pf1 (A)¡\ 2C ‚  ‚  ƒ  ƒ  ‚  ‚ çÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ª>6     ðŒ ðX ó ðZ€ Ë¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð°Àê ðŸ V±=pf0(B)-pf1(B)=2-1=1 ²=pf1(B)-pf2(B)=1-1=0¡|, 2 ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  C  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ª , ðH ðX ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìî®"ï €ùÿÿÿ F"ð>"pð,.¬ðÖ!ð( ð ð¬ðÕ ð¬ “ ð6€|à‡�ƒ¿Àÿ ð…ÕU ðoŸ¨Example¡,ª  ¦ððz ð¬ ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ð�`Csðz ð¬ ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ðà`CÃðz ð¬ ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�Ìÿ¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ð` `CC ðz ð¬ ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ðà `Cà ðé¢ ð¬  ð`€„é…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðE¢e ðKŸ¨0¡ª ðé¢ ð¬  ð`€Ôí…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðõ¢  ðKŸ¨1¡ª ðé¢ ð ¬  ð`€Hñ…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðE ¢e  ðKŸ¨2¡ª ðé¢ ð ¬  ð`€ô…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðÅ ¢å  ðKŸ¨3¡ª ð° ð ¬ £ ð<€d÷�‚ƒà¥„…¿�¿ÿðÔ™+ º ðDŸ¡‚ª ðFB ð ¬ S ðƒà¥…¿Ëg ÿ𷸹š ðFB ð ¬ S ðƒà¥…¿Ëg ÿðE) Fð° 𬠣 ð<€€ü�‚ƒà¥„…¿�¿ÿð` ™+ F  ðDŸ¡‚ª ðFB ð¬ S ðƒà¥…¿Ëg ÿðò¸¹ÕðFB ð¬ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð~ ¸¹a ðFB ð¬ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð ) ðFB ð¬ S ðƒà¥…¿Ëg ÿðÑ ) Ò ðFB ð¬ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð~ | } a ðFB ð¬À S ðƒà¥…¿Ëg ÿð˜Eh¼ ðFB ð¬ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð}�Fê ðFB ð¬ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð·ñòš ðFB ð¬ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð·-.š ðFB ð¬ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð˜~ º ðFB ð¬@ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð˜ 0 ¿ ðFB ð¬@ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð•}£¼ ðé2 ð¬  ð`€´…‡¿�¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°ð à   ðKŸ¨f¡‚ª  ðé2 ð¬  ð`€L…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð@0 ð ðKŸ¨h¡‚ª  ðé2 ð¬  ð`€T…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðp @0 `  ðKŸ¨a¡‚ª  ðé2 ð¬  ð`€è …‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðp ð à `  ðKŸ¨b¡‚ª  ðé2 ð¬  ð`€(…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� ð à €  ðKŸ¨c¡‚ª  ðé2 ð ¬  ð`€d…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°°   ðKŸ¨j¡‚ª  ðé2 ð!¬  ð`€È…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� ° €  ðKŸ¨l¡‚ª  ðé2 ð"¬  ð`€Ð…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°�€  ðKŸ¨i¡‚ª  ðé2 ð#¬  ð`€…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� �€€  ðKŸ¨k¡‚ª  ðé2 ð$¬  ð`€h…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°@0   ðKŸ¨e¡‚ª  ðé2 ð%¬  ð`€´"…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� @0 €  ðKŸ¨d¡‚ª  ðVðF ð° ð €ú  ð&¬ ðˆð°0 ºð¸ ð'¬ £ ð<€œ!�‚ƒà¥„…¿�¿ÿðâ yú  ðDŸ¡‚ª ðNB ð(¬ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð®… ‘† ðñ2 ð)¬  ð`€è$…‡¿�ÿ™Ì¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð�ð €à  ðKŸ¨g¡‚ª  ðñ2 ð*¬  ð`€L,…‡¿�ÿ™Ì¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð° ð  à  ðKŸ¨f¡‚ª  ðô¢ ð+¬  ð`€´'…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð—€  ðVŸ¨Path Partition¡ª  ðŒ ð.¬ ó ðZ€t6¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ðð À * ðŸ V±=pf0(B)-pf1(B)=2-1=1 ²=pf1(B)-pf2(B)=1-1=0¡|, 2 ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  C  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ª , ðH 𬠃 ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìî>ï € îðæ€ðlð~ð( ð ðlð² ðl ó ðZ€6     ðŒ ðl ó ðZ€tk¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð°Àê ðŸ V±=pf0(B)-pf1(B)=2-1=1 ²=pf1(B)-pf2(B)=1-1=0¡|, 2 ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  C  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ª , ðH ðl ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33ÌîÍ$ï €ù e$ð]$�ð/0°ðõ#ð( ð ð°ðÕ ð° “ ð6€è€‡�ƒ¿Àÿ ð…ÕU ðoŸ¨Example¡,ª  ¦ððz ð° ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ð�`Csðz ð° ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ðà`CÃðz ð° ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�Ìÿ¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ð` `CC ðz ð° ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ðà `Cà ðé¢ ð°  ð`€ð‰…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðE¢e ðKŸ¨0¡ª ðé¢ ð°  ð`€@Ž…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðõ¢  ðKŸ¨1¡ª ðé¢ ð °  ð`€�ƒ…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðE ¢e  ðKŸ¨2¡ª ðé¢ ð °  ð`€4�…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðÅ ¢å  ðKŸ¨3¡ª ð° ð ° £ ð<€¼—�‚ƒà¥„…¿�¿ÿðÔ™+ º ðDŸ¡‚ª ðFB ð ° S ðƒà¥…¿Ëg ÿ𷸹š ðFB ð ° S ðƒà¥…¿Ëg ÿðE) Fð° ð° £ ð<€ðš�‚ƒà¥„…¿�¿ÿð` ™+ F  ðDŸ¡‚ª ðFB ð° S ðƒà¥…¿Ëg ÿð~ ¸¹a ðFB ð° S ðƒà¥…¿Ëg ÿð ) ðFB ð° S ðƒà¥…¿Ëg ÿðÑ ) Ò ðFB ð° S ðƒà¥…¿Ëg ÿð~ | } a ðFB ð°À S ðƒà¥…¿Ëg ÿð˜Eh¼ ðFB ð° S ðƒà¥…¿Ëg ÿð}�Fê ðFB ð° S ðƒà¥…¿Ëg ÿð·ñòš ðFB ð° S ðƒà¥…¿Ëg ÿð·-.š ðFB ð° S ðƒà¥…¿Ëg ÿð˜~ º ðFB ð°@ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð˜ 0 ¿ ðFB ð°@ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð•}£¼ ðé2 ð°  ð`€„ …‡¿�¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°ð à   ðKŸ¨f¡‚ª  ðé2 ð°  ð`€£…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðp @0 `  ðKŸ¨a¡‚ª  ðé2 ð°  ð`€$§…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðp ð à `  ðKŸ¨b¡‚ª  ðé2 ð°  ð`€¸ª…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� ð à €  ðKŸ¨c¡‚ª  ðé2 ð°  ð`€ø®…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°°   ðKŸ¨j¡‚ª  ðé2 ð°  ð`€4²…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� ° €  ðKŸ¨l¡‚ª  ðé2 ð °  ð`€˜µ…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°�€  ðKŸ¨i¡‚ª  ðé2 ð!°  ð`€ ¸…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� �€€  ðKŸ¨k¡‚ª  ðé2 ð"°  ð`€ì»…‡¿�¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°@0   ðKŸ¨e¡‚ª  ðé2 ð#°  ð`€8¿…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� @0 €  ðKŸ¨d¡‚ª  ðVðF ð° ð €ú  ð$° ðˆð°0 ºð¸ ð%° £ ð<€„Â�‚ƒà¥„…¿�¿ÿðâ yú  ðDŸ¡‚ª ðNB ð&° S ðƒà¥…¿Ëg ÿð®… ‘† ðñ2 ð'°  ð`€ÀÅ…‡¿�ÿ™Ì¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð�ð €à  ðKŸ¨g¡‚ª  ðñ2 ð(°  ð`€ØÉ…‡¿�ÿ™Ì¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð° ð  à  ðKŸ¨f¡‚ª  ðVðF ð@°0 j ð)° ðˆð°@0 jð¸ ð*° £ ð<€àÌ�‚ƒà¥„…¿�¿ÿð™„+ j ðDŸ¡‚ª ðNB ð+° S ðƒà¥…¿Ëg ÿ𸢹…ðñ2 ð,°  ð`€Ð…‡¿�ÿ™Ì¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð@°0   ðKŸ¨h¡‚ª  ðñ2 ð-°  ð`€„Ó…‡¿�ÿ™Ì¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð@`0 P ðKŸ¨e¡‚ª  ðô¢ ð.°  ð`€ÜÖ…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð—€  ðVŸ¨Path Partition¡ª  ðŒ ð0° ó ðZ€Ý¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ðÀ �Ð ú ðŸ V±=pf0(B)-pf1(B)=2-2=0 ²=pf1(B)-pf2(B)=2-1=1¡|, 2 ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  C  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ª , ðH ð° ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìîžï € NðF ð\ðÞð( ð ð\ðŒ ð\ ó ðZ€ø¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð°@ê ðŸ V±=pf0(B)-pf1(B)=2-2=0 ²=pf1(B)-pf2(B)=2-1=1¡|, 2 ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  C  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ª , ð ð\ ó ðZ€8 ¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð `§  ðˆŸ ²f(x)³ð2 and ±=0 and ²=1 Þð pf(G)=pf3(A)+pf(B) =pf3(A)+1¡¦Z 2‚  ‚  ƒ  ƒ  ‚  ‚ çÿ ‚  ‚  ‚ çÿ ‚ Îÿ ‚  ‚  ‚ çÿ ‚  ‚  ‚ çÿ ‚ Îÿ ‚  ª Z ðH ð\ ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìîf)ï €ùÿÿÿ þ(ðö(°ð56´ðŽ(ð( ð ð´ðÕ ð´ “ ð6€´#‡�ƒ¿Àÿ ð…ÕU ðoŸ¨Example¡,ª  ¦ððz ð´ ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ð�`Csðz ð´ ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ðà`CÃðz ð´ ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�Ìÿ¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ð` `CC ðz ð´ ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ðà `Cà ðé¢ ð´  ð`€¼,…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðE¢e ðKŸ¨0¡ª ðé¢ ð´  ð`€ 1…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðõ¢  ðKŸ¨1¡ª ðé¢ ð ´  ð`€€4…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðE ¢e  ðKŸ¨2¡ª ðé¢ ð ´  ð`€P7…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðÅ ¢å  ðKŸ¨3¡ª ð° ð ´ £ ð<€œ:�‚ƒà¥„…¿�¿ÿð` ™+ F  ðDŸ¡‚ª ðFB ð ´ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð~ ¸¹a ðFB ð ´ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð ) ðFB ð´ S ðƒà¥…¿Ëg ÿðÑ ) Ò ðFB ð´ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð~ | } a ðFB ð´À S ðƒà¥…¿Ëg ÿð˜Eh¼ ðFB ð´ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð}�Fê ðFB ð´ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð·ñòš ðFB ð´ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð·-.š ðFB ð´ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð˜~ º ðFB ð´@ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð•}£¼ ðé2 ð´  ð`€�@…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðp @0 `  ðKŸ¨a¡‚ª  ðé2 ð´  ð`€(C…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðp ð à `  ðKŸ¨b¡‚ª  ðé2 ð´  ð`€0G…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� ð à €  ðKŸ¨c¡‚ª  ðé2 ð´  ð`€ÄJ…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°°   ðKŸ¨j¡‚ª  ðé2 ð´  ð`€\&…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� ° €  ðKŸ¨l¡‚ª  ðé2 ð´  ð`€äQ…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°�€  ðKŸ¨i¡‚ª  ðé2 ð´  ð`€èU…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� �€€  ðKŸ¨k¡‚ª  ðé2 ð´  ð`€¬Y…‡¿�¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� @0 €  ðKŸ¨d¡‚ª  ðtðF ð@À º ð´ ðˆð°` à jð¸ ð´ £ ð<€´\�‚ƒà¥„…¿�¿ÿð™Ô+ º ðDŸ¡‚ª ð¸ ð ´ £ ð<€¬_�‚ƒà¥„…¿�¿ÿð™Ô+ º ðDŸ¡‚ª ðNB ð!´ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð) E Fð¸ ð"´ £ ð<€œc�‚ƒà¥„…¿�¿ÿð" Ô¹ º ðDŸ¡‚ª ðNB ð#´ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð¸ò¹ÕðNB ð$´ S ðƒà¥…¿Ëg ÿðî EÑ Fðñ2 ð%´  ð`€üe…‡¿�ÿ™Ì¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðÐ °À   ðKŸ¨g¡‚ª  ðñ2 ð&´  ð`€ði…‡¿�ÿ™Ì¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðð °à   ðKŸ¨f¡‚ª  ðñ2 ð'´  ð`€€m…‡¿�ÿ™Ì¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð@0 ð ðKŸ¨h¡‚ª  ðñ2 ð(´  ð`€Ìp…‡¿�ÿ™Ì¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð@°0   ðKŸ¨e¡‚ª  ð° ð)´ £ ð<€Ôs�‚ƒà¥„…¿�¿ÿðt I Û Z  ðDŸ¡‚ª ðFB ð*´ S ðƒà¥…¿Ëg ÿðW h i : ð° ð+´ £ ð<€0x�‚ƒà¥„…¿�¿ÿðt ÒiZ  ðDŸ¡‚ª ðFB ð,´ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð’ h i u ðFB ð-´ S ðƒà¥…¿Ëg ÿðå ž�æ ðFB ð.´@ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð8 ¹ à_ ðé2 ð/´  ð`€ {…‡¿�ÿ™Ì¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðP €p@  ðKŸ¨g¡‚ª  ðé2 ð0´  ð`€¤…‡¿�ÿ™Ì¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðP  �@  ðKŸ¨f¡‚ª  ðé2 ð1´  ð`€@ƒ…‡¿�ÿ™Ì¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð ð à �  ðKŸ¨h¡‚ª  ðé2 ð2´  ð`€¤†…‡¿�ÿ™Ì¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðP ð à @  ðKŸ¨e¡‚ª  ðé2 ð3´  ð`€¬‰…‡¿�ÿ™Ì¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð0 ð à  ðKŸ¨d¡‚ª  ðô¢ ð4´  ð`€˜ˆ…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð—€  ðVŸ¨Path Partition¡ª  ðŒ ð6´ ó ðZ€Ä’¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ðð À * ðŸ V±=pf0(B)-pf1(B)=2-1=1 ²=pf1(B)-pf2(B)=1-1=0¡|, 2 ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  C  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ª , ðH ð´ ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìîªï € ZðRÀðpðêð( ð ðpð² ðp ó ðZ€¤¬¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ðp@€w  ð(Ÿ ¶ f(x) ³ð 2 and ±=1 Þð pf(G)=pf1-² (A)+pf1+²(B)-1 = pf1 (A)+1-1= pf1 (A)¡\ 2C ‚  ‚  ƒ  ƒ  ‚  ‚ çÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ª>6     ðH ðp ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33ÌîÐ ï €ùÿÿÿ h ð` Ðð*+¸ðøð( ð ð¸ðÕ ð¸ “ ð6€ ɇ�ƒ¿Àÿ ð…ÕU ðoŸ¨Example¡,ª  ¦ððz ð¸ ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ð�`Csðz ð¸ ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ðà`CÃðz ð¸ ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�Ìÿ¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ð` `CC ðz ð¸ ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ðà `Cà ðé¢ ð¸  ð`€(Ò…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðE¢e ðKŸ¨0¡ª ðé¢ ð¸  ð`€xÖ…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðõ¢  ðKŸ¨1¡ª ðé¢ ð ¸  ð`€ìÙ…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðE ¢e  ðKŸ¨2¡ª ðé¢ ð ¸  ð`€¼Ü…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðÅ ¢å  ðKŸ¨3¡ª ð° ð ¸ £ ð<€à�‚ƒà¥„…¿�¿ÿðÔ™+ º ðDŸ¡‚ª ðFB ð ¸À S ðƒà¥…¿Ëg ÿð˜Eh¼ ðFB ð ¸ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð}�Fê ðFB ð¸ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð·ñòš ðFB ð¸ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð·-.š ðFB ð¸ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð˜~ º ðFB ð¸@ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð•}£¼ ðé2 ð¸  ð`€ìä…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°°   ðKŸ¨j¡‚ª  ðé2 ð¸  ð`€„ç…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� ° €  ðKŸ¨l¡‚ª  ðé2 ð¸  ð`€Œë…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°�€  ðKŸ¨i¡‚ª  ðé2 ð¸  ð`€ ï…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� �€€  ðKŸ¨k¡‚ª  ðé2 ð¸  ð`€`󅇿�¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� @0 €  ðKŸ¨d¡‚ª  ðtðF ð@À º ð¸ ðˆð°` à jð¸ 𸠣 ð<€@÷�‚ƒà¥„…¿�¿ÿð™Ô+ º ðDŸ¡‚ª ð¸ 𸠣 ð<€ ù�‚ƒà¥„…¿�¿ÿð™Ô+ º ðDŸ¡‚ª ðNB ð¸ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð) E Fð¸ 𸠣 ð<€Tý�‚ƒà¥„…¿�¿ÿð" Ô¹ º ðDŸ¡‚ª ðNB ð¸ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð¸ò¹ÕðNB ð¸ S ðƒà¥…¿Ëg ÿðî EÑ Fðñ2 ð¸  ð`€H …‡¿�ÿ™Ì¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðÐ °À   ðKŸ¨g¡‚ª  ðñ2 ð¸  ð`€à …‡¿�ÿ™Ì¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðð °à   ðKŸ¨f¡‚ª  ðñ2 ð ¸  ð`€ü …‡¿�ÿ™Ì¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð@0 ð ðKŸ¨h¡‚ª  ðñ2 ð!¸  ð`€8 …‡¿�ÿ™Ì¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð@°0   ðKŸ¨e¡‚ª  ð° ð"¸ £ ð<€¼ �‚ƒà¥„…¿�¿ÿðÀ  « ¦  ðDŸ¡‚ª ðFB ð#¸ S ðƒà¥…¿Ëg ÿðÞ 8 9 Á ðFB ð$¸ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð1 © Œ2 ðFB ð%¸ S ðƒà¥…¿Ëg ÿðÞ üýÁ ðé2 ð&¸  ð`€¼ …‡¿�ÿÿ™¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðÐ À ° À  ðKŸ¨a¡‚ª  ðé2 ð'¸  ð`€ü …‡¿�ÿÿ™¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðÐ p`À  ðKŸ¨b¡‚ª  ðé2 ð(¸  ð`€8 …‡¿�ÿÿ™¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðð p`à  ðKŸ¨c¡‚ª  ðé2 ð)¸  ð`€¸þ…‡¿�ÿÿ™¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðð À ° à  ðKŸ¨d¡‚ª  ðô¢ ð*¸  ð`€ä …‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð—€  ðVŸ¨Path Partition¡ª  ðH 𸠃 ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìî|ï € ,ð$àð`ð¼ð( ð ð`ð„ ð` ó ðZ€X, ¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð    ðúŸ ¨xÎðC1. d2³ð1 with yÎðD2, Then pf(B)=pf'(B-x), where f' is the same as f except f'(y)=1.¡U 2‚ ƒ ‚   çÿC ‚   çÿƒ  C ‚ ƒ ‚   çÿC ‚  ‚ çÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  çÿ ‚  ‚  C ‚ C ‚ C ‚  ‚  C ªT  ðH ð` ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìîaï €ùÿÿÿ ùðñðð¼ð‰ð( ð ð¼ðÕ ð¼ “ ð6€ÌH ‡�ƒ¿Àÿ ð…ÕU ðoŸ¨Example¡,ª  ¦ððz ð¼ ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ð�`Csðz ð¼ ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ðà`CÃðz ð¼ ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�Ìÿ¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ð` `CC ðz ð¼ ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ðà `Cà ðé¢ ð¼  ð`€ÔQ …‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðE¢e ðKŸ¨0¡ª ðé¢ ð¼  ð`€$V …‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðõ¢  ðKŸ¨1¡ª ðé¢ ð ¼  ð`€˜Y …‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðE ¢e  ðKŸ¨2¡ª ðé¢ ð ¼  ð`€h\ …‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðÅ ¢å  ðKŸ¨3¡ª ð° ð ¼ £ ð<€´_ �‚ƒà¥„…¿�¿ÿðÔ™+ º ðDŸ¡‚ª ðFB ð ¼ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð·ñòš ðFB ð ¼ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð·-.š ðFB ð¼ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð˜~ º ðFB ð¼@ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð•}£¼ ðé2 ð¼  ð`€ðc …‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°°   ðKŸ¨j¡‚ª  ðé2 ð¼  ð`€ˆf …‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� ° €  ðKŸ¨l¡‚ª  ðé2 ð¼  ð`€�j …‡¿�¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°�€  ðKŸ¨i¡‚ª  ðé2 ð¼  ð`€Ln …‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� �€€  ðKŸ¨k¡‚ª  ðô¢ ð¼  ð`€Èq …‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð—€  ðVŸ¨Path Partition¡ª  ðH ð¼ ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33ÌîÔï €ù lðdðÀðüð( ð ðÀðÕ ðÀ “ ð6€Äy ‡�ƒ¿Àÿ ð…ÕU ðoŸ¨Example¡,ª  ¦ððz ðÀ ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ð�`Csðz ðÀ ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ðà`CÃðz ðÀ ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�Ìÿ¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ð` `CC ðz ðÀ ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ðà `Cà ðé¢ ðÀ  ð`€Ì‚ …‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðE¢e ðKŸ¨0¡ª ðé¢ ðÀ  ð`€‡ …‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðõ¢  ðKŸ¨1¡ª ðé¢ ð À  ð`€�Š …‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðE ¢e  ðKŸ¨2¡ª ðé¢ ð À  ð`€`� …‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðÅ ¢å  ðKŸ¨3¡ª ð° ð À £ ð<€¼‘ �‚ƒà¥„…¿�¿ÿðÔ™+ º ðDŸ¡‚ª ðFB ð À S ðƒà¥…¿Ëg ÿð·-.š ðFB ð À S ðƒà¥…¿Ëg ÿð˜~ º ðé2 ðÀ  ð`€D” …‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°°   ðKŸ¨j¡‚ª  ðé2 ðÀ  ð`€l˜ …‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� ° €  ðKŸ¨l¡‚ª  ðé2 ðÀ  ð`€à› …‡¿�¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� �€€  ðKŸ¨k¡‚ª  ðô¢ ðÀ  ð`€l| …‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð—€  ðVŸ¨Path Partition¡ª  ðH ðÀ ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìî•ï €ù“H -ð%ðÄð½ð( ð ðÄðÕ ðÄ “ ð6€x¥ ‡�ƒ¿Àÿ ð…ÕU ðoŸ¨Example¡,ª  ¦ððz ðÄ ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ð�`Csðz ðÄ ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ðà`CÃðz ðÄ ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�Ìÿ¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ð` `CC ðz ðÄ ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ðà `Cà ðé¢ ðÄ  ð`€tK …‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðE¢e ðKŸ¨0¡ª ðé¢ ðÄ  ð`€¼± …‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðõ¢  ðKŸ¨1¡ª ðé¢ ð Ä  ð`€€µ …‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðE ¢e  ðKŸ¨2¡ª ðé¢ ð Ä  ð`€¼¸ …‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðÅ ¢å  ðKŸ¨3¡ª ð° ð Ä £ ð<€X¼ �‚ƒà¥„…¿�¿ÿðÔ™+ º ðDŸ¡‚ª ðFB ð Ä S ðƒà¥…¿Ëg ÿð·-.š ðé2 ð Ä  ð`€P¿ …‡¿�¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°°   ðKŸ¨j¡‚ª  ðé2 ðÄ  ð`€@à …‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� ° €  ðKŸ¨l¡‚ª  ðô¢ ðÄ  ð`€´Æ …‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð—€  ðVŸ¨Path Partition¡ª  ðH ðÄ ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33ÌîÖï €ùÿÿÿ nðf ð!!Èðþð( ð ðÈðÕ ðÈ “ ð6€dÍ ‡�ƒ¿Àÿ ð…ÕU ðoŸ¨Example¡,ª  ¦ððz ðÈ ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ð�`Csðz ðÈ ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ðà`CÃðz ðÈ ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�Ìÿ¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ð` `CC ðz ðÈ ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ðà `Cà ðé¢ ðÈ  ð`€˜Ö …‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðE¢e ðKŸ¨0¡ª ðé¢ ðÈ  ð`€ÀÚ …‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðõ¢  ðKŸ¨1¡ª ðé¢ ð È  ð`€\Þ …‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðE ¢e  ðKŸ¨2¡ª ðé¢ ð È  ð`€Àá …‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðÅ ¢å  ðKŸ¨3¡ª ðé2 ð È  ð`€Pà …‡¿�¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� ° €  ðKŸ¨l¡‚ª  ð0ðF ð™Ô©�  ð È ðˆðÔ™©� ð¸ ð È £ ð<€ôã �‚ƒà¥„…¿�¿ÿð™Ô+ º ðDŸ¡‚ª ð¸ ðÈ £ ð<€èê �‚ƒà¥„…¿�¿ÿð‰  ê ðDŸ¡‚ª ð¸ ðÈ £ ð<€î �‚ƒà¥„…¿�¿ÿð©ê ðDŸ¡‚ª ð¸ ðÈ £ ð<€ñ �‚ƒà¥„…¿�¿ÿð‰ �  v  ðDŸ¡‚ª ð¸ ðÈ £ ð<€ðô �‚ƒà¥„…¿�Ìÿ¿ÿð Ê t °  ðDŸ¡‚ª ðNB ðÈ S ðƒà¥…¿Ëg ÿ𨠮 © ‘ ðNB ðÈ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð  ü  ðNB ðÈ S ðƒà¥…¿Ëg ÿðl® m‘ ðNB ðÈ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð5 ÈX ì ðNB ðÈ S ðƒà¥…¿Ëg ÿðá çâ Ê ðNB ðÈ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð ç Ê ðNB ðÈ S ðƒà¥…¿Ëg ÿðn È� ê ðñ2 ðÈ  ð`€8ø …‡¿�ÿÿ™¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð0   �  ðKŸ¨a¡‚ª  ðñ2 ðÈ  ð`€Tü …‡¿�ÿÿ™¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðà   Ð�  ðKŸ¨b¡‚ª  ðñ2 ðÈ  ð`€ …‡¿�ÿÿ™¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðà À а  ðKŸ¨c¡‚ª  ðñ2 ðÈ  ð`€( …‡¿�ÿÿ™¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð à� Ð ðKŸ¨j¡‚ª  ðñ2 ðÈ  ð`€Ä …‡¿�ÿÿ™¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð À � °  ðKŸ¨l¡‚ª  ðñ2 ðÈ  ð`€ô …‡¿�ÿÿ™¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð€ àp Ð ðKŸ¨i¡‚ª  ðñ2 ðÈ  ð`€ø …‡¿�ÿÿ™¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð€ À p °  ðKŸ¨k¡‚ª  ðñ2 ð È  ð`€ä …‡¿�ÿÿ™¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð0 À °  ðKŸ¨d¡‚ª  ðô¢ ð!È  ð`€4 …‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð—€  ðVŸ¨Path Partition¡ª  ðH ðÈ ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìî#ï €ù »ð³0ð!!ÌðKð( ð ðÌðÕ ðÌ “ ð6€Ä ‡�ƒ¿Àÿ ð…ÕU ðoŸ¨Example¡,ª  ¦ðð° ðÌ £ ð<€|# �‚ƒà¥„…¿�¿ÿðÔ™+ º ðDŸ¡‚ª ðFB ðÌ S ðƒà¥…¿Ëg ÿ𷸹š ðLB ðÌ c ð$ƒà¥…¿Àÿ™ÌËpÆÿðE) Fð° ðÌ £ ð<€¬' �‚ƒà¥„…¿�¿ÿðÔ" ¹ º ðDŸ¡‚ª ð° ðÌ £ ð<€P* �‚ƒà¥„…¿�¿ÿð` ™+ F  ðDŸ¡‚ª ðLB ðÌ c ð$ƒà¥…¿Àÿ™ÌËpÆÿðò¸¹ÕðLB ð Ì c ð$ƒà¥…¿Àÿ™ÌËpÆÿðEî Ñ FðLB ð Ì c ð$ƒà¥…¿ÀËpÆÿð~ ¸¹a ðFB ð Ì S ðƒà¥…¿Ëg ÿð ) ðLB ð Ì c ð$ƒà¥…¿ÀËpÆÿðÑ ) Ò ðLB ð Ì c ð$ƒà¥…¿ÀÿËpÆÿð~ | } a ðLB ðÌÀ c ð$ƒà¥…¿ÀËpÆÿð˜Eh¼ ðFB ðÌ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð}�Fê ðLB ðÌ c ð$ƒà¥…¿ÀËpÆÿð·ñòš ðLB ðÌ c ð$ƒà¥…¿ÀËpÆÿð·-.š ðLB ðÌ c ð$ƒà¥…¿ÀËpÆÿð˜~ º ðFB ðÌ@ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð˜ 0 ¿ ðFB ðÌ@ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð•}£¼ ðé2 ðÌ  ð`€”0 …‡¿�ÿ™Ì¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°Ð À   ðKŸ¨g¡‚ª  ðé2 ðÌ  ð`€,3 …‡¿�ÿ™Ì¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°ð à   ðKŸ¨f¡‚ª  ðé2 ðÌ  ð`€47 …‡¿�ÿ™Ì¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð@0 ð ðKŸ¨h¡‚ª  ðé2 ðÌ  ð`€È: …‡¿�ÿÿ™¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðp @0 `  ðKŸ¨a¡‚ª  ðé2 ðÌ  ð`€? …‡¿�ÿÿ™¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðp ð à `  ðKŸ¨b¡‚ª  ðé2 ðÌ  ð`€DB …‡¿�ÿÿ™¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� ð à €  ðKŸ¨c¡‚ª  ðé2 ðÌ  ð`€¨E …‡¿�ÿÿ™¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°°   ðKŸ¨j¡‚ª  ðé2 ðÌ  ð`€°H …‡¿�ÿÿ™¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� ° €  ðKŸ¨l¡‚ª  ðé2 ðÌ  ð`€üK …‡¿�ÿÿ™¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°�€  ðKŸ¨i¡‚ª  ðé2 ðÌ  ð`€HO …‡¿�ÿÿ™¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� �€€  ðKŸ¨k¡‚ª  ðé2 ðÌ  ð`€”R …‡¿�ÿ™Ì¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°@0   ðKŸ¨e¡‚ª  ðé2 ð Ì  ð`€|Q …‡¿�ÿÿ™¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� @0 €  ðKŸ¨d¡‚ª  ðô¢ ð!Ì  ð`€ÈT …‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð—€  ðVŸ¨Path Partition¡ª  ðH ðÌ ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìîäï  € ”ðŒ`ðˆð$ð( ð ðˆðr ðˆ S ð€ ó ¿ÿ üð…ÕUðà   ð žðr ðˆ S ð€´ó ¿ÿ üð÷é ðà   ð žðH ðˆ ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìî• ï  €ùÿÿÿ - ð% PðÐð½ ð( ð ðÐðx ðÐ c ð$€Pp ¿ÿ üˆð…ÕUðà   ð žðx ðÐ c ð$€Ä“ ¿ÿ üˆð÷é ðà   ð žðñ¢ ðÐ  ð`€”ê …‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðÔD  ðSŸ¨ Future work¡  ª  ðˆ2 ðÐ  ð`…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð` ð  Ððz ðÐ ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ð   ƒ ðŽ2 ðÐ  ðfh�5…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð€ € ð   ðŽ2 ð Ð  ðf-^…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðÐ à P ð ðz ð Ð ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ð P 3ã ðŽ2 ð Ð  ðfÖ1)…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð p�� ðŽ2 ð Ð  ðf"ãÿ…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð� @`ðˆ2 ð Ð  ð`…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðÀ ð 0ðz ðÐ ó ðRBãCãDEÁtFÁ~€�¿ÀÄËg ÎÿˆðÿqY A++@ Xr‹£ ¸Ê+ØAàYãqà‹Ø£Ê¹¸Ë£Ø‹àrãXà@Ø+˹ £‹q<@@¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬`€ð ðÓ ðŽ2 ðÐ  ðfžÙîÿ…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð° °Ð ðH ðÐ ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìîßï € �ð‡@ðŒðð( ð ðŒðç¢ ðŒ ã ðT€Ü_ ¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð p@'  ðcŸ¨Thanks for your attention¡C0ª  ðH ðŒ ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33ÌÇxœíVÍkQŸ÷v“&Ûhcð£¡i¥†|xЋ6bÁÆÒäh* FšlÓ¤‘P !ÉI�ª<Á©D2žµÆâ·¬‰t2– "’£Lõâqó ó…„qÄÁ×Zîvp[À­?aºõ>�-sŸH*ÒcãË^·}§á~Þi¦ô•°]2`òL¿”eòAF>äà™�£~)#vð€ß­ßôº÷ŸlxÚÁo™{”>øóÙÓÛDp2ŸœIÏ�Û'®âeÎþOòd_9ø³¡°©ß° ÝO€ö”Sx.Žx•qÞ5™ÏæâI¬Vž‰±K•ÿš:eøO¶.i¼yowî�ȵÁ˜ÁL.Lƒ/w#\¦{|e¥Ë‘E‘Á"bôåOÐw0E•1¦Ñͪ¾Êy/Ÿ'ÕÄÜJ|{OÙîLµúÿÓTÏþ Cª&–{ˆ-ª‘èµbË”mƒþ#Ú‰Hm%2xœíU1oÓ@þÞ9-� S!¨*«D¥ea©*A­T@17E‰jâ¦q+E,™P†ü&f`e`a`f&kØ6ïÝ�+“9�ŠòYgß½{wß{¾÷Þ½{{âÃã§ó1„8ˆâ<¦S2²MÔGq'âx‚#…ïܦìæì7úÇ6Mð÷p ?!|”Ñâï.ºÃ¥à—8…©Ãœ—z Þ(-i¦¯¦u7×ßßy}í9Ü賓¦ÜÀ6j#q¦áBQÚŸ¬ëN"á¿Ìþ7±ÃvláþÈü³Ì/5P|ÊÊ/úuÛWÖÿ›üçkè`Q?Ù1gýÏ�À/¶®ÛBÙsKò_j�ÔücÜf0©ÿ;È\ã¿ âq\{ùš_�»»A'¨‡~¹½W AË_.-¢ÈSW*‡2xœ JËøzéY;¿ðJ<ç`òJÛaç6Yð„›G2—çÀïCÜ�Õ³éy­*k%‹EBŠ7Ð’ÍiÉEV» ’uEÕ£U’}ÎNǼÍóɳãƒ` Ötß!rÈ%õ°¶ ƒ±O0”ÑÆª|ó7ølql^·£ýL·²Ï§Ÿ®'Y89qîÏÌþ £ò�G™ÿ0ePP2xœíU1oÓ@þÞ9-� S!¨*«D¥ea©*A­T@17E‰jâ¦q+E,™P†ü&f`e`a`f&kØ6ïÝ�+“9�ŠòYgß½{wß{¾÷Þ½{{âÃã§ó1„8ˆâ<¦S2²MÔGq'âx‚#…ïܦìæì7úÇ6Mð÷p ?!|”Ñâï.ºÃ¥à—8…©Ãœ—z Þ(-i¦¯¦u7×ßßy}í9Ü賓¦ÜÀ6j#q¦áBQÚŸ¬ëN"á¿Ìþ7±ÃvláþÈü³Ì/5P|ÊÊ/úuÛWÖÿ›üçkè`Q?Ù1gýÏ�À/¶®ÛBÙsKò_j�ÔücÜf0©ÿ;È\ã¿ âq\{ùš_�»»A'¨‡~¹½W AË_.-¢ÈSW*‡2xœ JËøzéY;¿ðJ<ç`òJÛaç6Yð„›G2—çÀïCÜ�Õ³éy­*k%‹EBŠ7Ð’ÍiÉEV» ’uEÕ£U’}ÎNǼÍóɳãƒ` Ötß!rÈ%õ°¶ ƒ±O0”ÑÆª|ó7ølql^·£ýL·²Ï§Ÿ®'Y89qîÏÌþ £ò�G™ÿ0ePP0xœíU=oA}³ç|øl‰#BE§TÄ „†E#)€0¢Žƒlá(öÅñ%’Eã*rAÁ_ ¢¡Z   ¦!QSÐ!î˜ÙÝ‹è,¢ ¿ÓÞíÎÎ�™ýðþä§'Ïç>cWà Šó˜LÉÈ6 PvÅqœˆã1Ž~r›°g˜³ßèˆmãßá~Bø(£ÅßtKÁq9/õ@½SZþÚL_O뮯~¼÷öÆr¸ßSIM¹…-Ô†âLÃ…¢´?Y×�B•ýob›íØÀæÐü3Ì/5P|ÊÊ/úuÛWÖÿÛüçkè`Q?Ù1kýÏ Á/¶®ÚBÙsKò_j�Ôü)nÓ׃ÿd®ñCƒ8B×ÄÞ`îŸá×ZãþNÐ ê¡_nïVÃFÐò—J‹(òÔµÊ� 'ƒÒ¾_~ÑÎÆ/¼Ï9˜¼Òvعu<åæ‘Ìå9ðûwgô¬Dz^«ÊZÉb‘�â ´¤D³ZrA‘Õ.¨d]Qõh™dŸs“'0g3Ïß¹÷UF¼¨Î­`uŠX«†îv·¹ÔùZó‡êEÆÎǤÍRð*ÝæF°%ü d2ð¢»L—´o/¹Ú™Ý\سì^žÎXà•ØØ'¥æ+ÝNXk¢oö"íÓ72Ù?:œÕ¦OñìøÙþ =\Ñ}‡È!—Ô~m~¤œcŒe´±‹*ßü ¾[›7íh/Ó­ìóé§ëINÎDœÿ;³ðü£ÆqæÿïjMº2xœíU=lÓ@þÞ9ý‰ S!¨*«D…²° JD+AÌMQ¢5qÓ¸Ù2¡Œ ¬LÌÀÊÀÂÀÌL $Ö0°!lÞ»;W&r å³Î¾{÷î¾÷|ï½{÷öè‡ÇO>bá Šó˜NÉÈ6 PvÅqœˆã ¾s›²g˜³ßèÛ4ÁßÃMü„ðQF‹¿»è—‚_â8¦r^ê�z£´ü¥™¾’ÖÝX{ûõÕWäp¿§’šrÛ¨�Ä™† Ei²®;†„ÿûßÄÛ±‰»#óÏ1¿Ô@ñ)+¿è×m_Yÿo🯡ƒ%ýdǼõ?7¿Øºf ydÏ-É©Róg¸ÍbRþw�¹ÆÄâ¸&ö†sÿ¿ÖwvƒNPýr{¯6‚–¿\ZB‘§.Wd(ð8”–ñõ³v6~á•xÎÁä•¶ÃÎm°à 7�d.Ï�߇¸;§g%ÒóZUÖJ‹„o %%š×’³Š¬vA%늪G+$ûœš>‚›yžøÎ½Ï2âEun«SÄz5ܺÕÝáRçkÍoª;�6KÁ«t››Á6”ðŸ!“�çÜ:¯}{ÎÕÎìæÂž`÷òtÆ/ÄÆ>)µXévÂZ}³iŸ¾�Éþñá¤6}ö“gÇ[�Vqïáªî;D¹¤î×�Á`0Vâ Æ‚2ÚØC•oþ߃-ŽÍkv´ŸéVöùôÓõ$ 'g"Nÿ™Ù?aTþqã0óÿTïPZr09 ã+å:>0QE�I§ÔB€=wÕ¢u¬w´¢ºÏj*o‚Ä�Y¸UâÐ ð;Laµs‘„.” °#ÇaGKgÚs+^ j[�aŒ¦Ú¡î†÷Vv×. ©‚e \‰/h€c<ëA‹1µHcÚ�Ü×ÞáZ6¡UƒZÙc]jýv×›±*È\R1Û>7õQÝ×�0KÕ7ÅÀÒõ*íIã„÷¿è,é(€àà€  ´ pÌ”ÍÃ@·¸ºEquation ºEquation.30º(Microsoft ¹e z_è}/�hV 3.0Ì”Í0Ã`º¸ºEquation ºEquation.30º(þÿ à…ŸòùOh«‘+'³Ù0à# px°À $0 P \ h t€ˆ¶.Path Partition for Graphs With Special BlocksweUserParLC:\Program Files\Microsoft Office\Templates\Presentation Designs\Blends.potUserogr177Microsoft PowerPointoso@ ª¦V@@ á�RCÅ@àÚü¼Å¡GP"ÿÿÿÿ‰g   6&ÿÿÿÿÀÐ &ÿÿÿÿ&#ÿÿÿÿTNPP�¸2ÿÿOMii & TNPPô &ÿÿÿÿ&TNPP   ÐÀ üÿÿÿ- úÿÿÿ"-- !ðÐÀ-- ú"-&ÿÿÿÿ²o&ÿÿÿÿ i=ü33Ì--- !ð2. --ð-&ÿÿÿÿG i=&ÿÿÿÿ-ü-üNNÏ- $G Q Q=G=ü¥¥á-ð $Q [ [=Q=üëë÷-ð $[ e e=[=-ð $e i i=e=---&ÿÿÿÿ&ÿÿÿÿ&ÿÿÿÿ&ÿÿÿÿ+8yjüÿÏ--- !ð2,8,--ð-&ÿÿÿÿR8yi&ÿÿÿÿ--üÿÑ6- $R8\8\iRiüÿߎ-ð $\8f8fi\iüÿòÙ-ð $f8p8pifi-ð $p8y8yipi---&ÿÿÿÿ&ÿÿÿÿ&ÿÿÿÿ&ÿÿÿÿ0;\&ÿÿÿÿ--&&üÿ- $<0<:üÿDD-ð $<:<Düÿkk-ð $<D"<Nüÿ’’-ð $<N",<Xüÿ··-ð $<X,6<büÿÕÕ-ð $<b6@<lüÿêê-ð $<l@J<vüÿ÷÷-ð $<vJT<€-ð $<€T\<ˆ $<ˆ\\<ˆ&&& úÿÿÿ"- & $0\;\;0& tÁtÅb&-&& &&ü-&&]<0&&üÿ- $<0<:üÿDD-ð $<:<Düÿkk-ð $<D"<Nüÿ’’-ð $<N",<Xüÿ··-ð $<X,6<büÿÕÕ-ð $<b6@<lüÿêê-ð $<l@J<vüÿ÷÷-ð $<vJT<€-ð $<€T\<ˆ $<ˆ\\<ˆ&- --&ÿÿÿÿ&ÿÿÿÿü--- !ðoC--ð-&ÿÿÿÿ!V²\&ÿÿÿÿ--ü- $!V+V+\!\ü -ð $+V5V5\+\ü###-ð $5V?V?\5\ü%%%-ð $?VIVI\?\ü(((-ð $IVSVS\I\ü+++-ð $SV]V]\S\ü...-ð $]VgVg\]\ü111-ð $gVqVq\g\ü333-ð $qV{V{\q\ü666-ð ${V…V…\{\ü:::-ð $…V�V�\…\ü===-ð $�V™V™\�\ü@@@-ð $™V£V£\™\üCCC-ð $£V­V­\£\üFFF-ð $­V·V·\­\üJJJ-ð $·VÁVÁ\·\üMMM-ð $ÁVËVË\Á\üQQQ-ð $ËVÕVÕ\Ë\üSSS-ð $ÕVßVß\Õ\üWWW-ð $ßVéVé\ß\ü[[[-ð $éVóVó\é\ü^^^-ð $óVýVý\ó\übbb-ð $ýVV\ý\üeee-ð $VV\\üiii-ð $VV\\ümmm-ð $V%V%\\üppp-ð $%V/V/\%\üttt-ð $/V9V9\/\üwww-ð $9VCVC\9\ü{{{-ð $CVMVM\C\ü-ð $MVWVW\M\üƒƒƒ-ð $WVaVa\W\ü‡‡‡-ð $aVkVk\a\üŠŠŠ-ð $kVuVu\k\ü���-ð $uVV\u\ü‘‘‘-ð $V‰V‰\\ü•••-ð $‰V“V“\‰\ü™™™-ð $“V�V�\“\üœœœ-ð $�V§V§\�\ü   -ð $§V±V±\§\ü£££-ð $±V»V»\±\ü§§§-ð $»VÅVÅ\»\ü«««-ð $ÅVÏVÏ\Å\ü­­­-ð $ÏVÙVÙ\Ï\ü±±±-ð $ÙVãVã\Ù\ü´´´-ð $ãVíVí\ã\ü¸¸¸-ð $íV÷V÷\í\ü»»»-ð $÷VV\÷\ü½½½-ð $V V \\üÁÁÁ-ð $ VV\ \üÄÄÄ-ð $VV\\üÇÇÇ-ð $V)V)\\üÊÊÊ-ð $)V3V3\)\üÍÍÍ-ð $3V=V=\3\üÏÏÏ-ð $=VGVG\=\üÒÒÒ-ð $GVQVQ\G\üÔÔÔ-ð $QV[V[\Q\ü×××-ð $[VeVe\[\üÙÙÙ-ð $eVoVo\e\üÛÛÛ-ð $oVyVy\o\üÝÝÝ-ð $yVƒVƒ\y\üààà-ð $ƒV�V�\ƒ\üâââ-ð $�V—V—\�\üäää-ð $—V¡V¡\—\üååå-ð $¡V«V«\¡\üççç-ð $«VµVµ\«\üééé-ð $µV¿V¿\µ\üëëë-ð $¿VÉVÉ\¿\üììì-ð $ÉVÓVÓ\É\üííí-ð $ÓVÝVÝ\Ó\üïïï-ð $ÝVçVç\Ý\üððð-ð $çVñVñ\ç\üòòò-ð $ñVûVû\ñ\üóóó-ð $ûVV\û\üôôô-ð $VV\\üõõõ-ð $VV\\üööö-ð $V#V#\\ü÷÷÷-ð $#V-V-\#\üøøø-ð $-V7V7\-\ $7VAVA\7\üùùù-ð $AVKVK\A\üúúú-ð $KVUVU\K\üûûû-ð $UV_V_\U\ $_ViVi\_\üüüü-ð $iVsVs\i\ $sV}V}\s\üýýý-ð $}V‡V‡\}\ $‡V‘V‘\‡\üþþþ-ð $‘V›V›\‘\ $›V¥V¥\›\ $¥V¯V¯\¥\-ð $¯V²V²\¯\---&ÿÿÿÿ&ÿÿÿÿ&ÿÿÿÿ&ÿÿÿÿg�1Á&ÿÿÿÿ û- &ÿÿÿÿg�™Á&ÿÿÿÿ --Q1˜�-- ûÕÿ¼ˆA¼Ð·¢Åéˆ-ð 33™.2 ÆŸ¼ï«TªN++,.ûÕÿ�@"Tahoma-ð 33™.2 ESeptember 2005# .--9™˜h-- 33™ûÅÿ�@"Tahoma-ð 33™.62 árPath Partition for Graphs With !!!  ! '!!5 !. 33™.2 'rSpecial Blocks!!  # .--û¼ˆ"Systemˆ-ð&TNPP &ÿÿÿÿÌ”Í0Ãl»¸ºEquation ºEquation.30º(Microsoft ¹e z_è}/�hV 3.0Ì”Í0Ãm¼¸ºEquation ºEquation.30º(Microsoft ¹e z_è}/�hV 3.0Ì”Í0Ãn½¸ºEquation ºEquation.30º(Microsoft ¹e z_è}/�hV 3.0Ì”Í0Ão¾¸ºEquation ºEquation.30º(Microsoft ¹e z_è}/�hV 3.0òâ/È 0ÒÕ·DArialgsRo„®¸¤Üb˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 0"·D°e0}fÔšgsRo„®¸¤Üb˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 0ˆ ·DTimes New Roman˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 00·DTahomaew Roman˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 0"@·DWingdingsRoman˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 0P·DjwiÔšdingsRoman˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 0ˆA`·DSymbolgsRoman˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 0¤ €a€¥.©  @£nÿý?" dd@ÿÿï€ÿÿ  @@``€€ üðôð@!˜§m>FL FG ( ! ""$-/1 7 , ""&%( *#&' *)( )5'# "!   + &% %$!?!?ð„2ð$L7HãFø<ä:Á$Ñ*¯ ÿm»2ð$m2âýåÕ¤b—~I¢÷{ëíÿõm»2ð$žèU`·o¸-îq6¯±«ÿ‚b» ð�0e‚˜²ƒ0e„˜²…‡ˆ‰¿ ô€�‚ƒ„†A‡Áˆ‰Š‹Œ�Ž��•–—Á˜™š›œ@¿ÀÁÂÿÿÿÄÅAÆÁÇÈÉÊË5%ÌÍÎÏÁÐÑÒÓÔÕÖ×ÿËËË8c8c     ?€�‚ƒœ1„…ðù†‡÷¿ÀÁÂdÃÄÅÆÇÈÉÊ0uËÐÌ0íìÿÍ@T‰Î€Ï€ÿÿÐyÿÑ2Ò NÓPÃÔÕ'Öp”×°<ÿÿØÙ'Úp”ÿ@A¨)BCD|¾E?„…†‡ˆŠ@ñÿÿÿÿÿÿÿÿ÷ð8ó9 €ó: €Ð7ÿ ºuìÊš;2NÍÉÊš;úgþý41d1dì 0èØbvÿÿÿ²ÿÿÿpûppû@ <ý4!d!d® 0¤Üb„¬¸b<ý4dddd® 0¤Üb„¬¸b?Ù Ú%OÙ Ú=ð)ó>Ÿ¨-Path Partition for Graphs With Special Blocksª . Ÿ $XoÊOpg September 2005¡,d�dª  óUŸ¨Outlineª  Ÿ¨@Introduction Motivation Previous results Main result Future workª A ó?Ÿ¨ Graph G=(V,E)¡>ƒƒª  ó_ Ÿ¨Subgraph H of a Graph G¡2 ‚ ‚ª  óXŸ¨Pathª  óVŸ¨Path-partition ¡�ª  óYŸ¨Path-partition ¡�ª  óWŸ¨Path-partition Number p(G) ¡Jƒ�ƒ�ª  óBŸ¨Path-partition Number p(G)¡Bƒ�ƒ�ª  óc#Ÿ¨Cycleª  ó[Ÿ¨ Hamiltonianª  óv2Ÿ¨Complete Graph Kn¡,‚ ‚çÿª&   óCŸ¨ Motivationª  Ÿ RSkupieD 1974 Hamiltonian shortage SH(G) ¡x* ƒ ƒçÿ�ƒ�‚ª $ óDŸ¨ Motivationª  óEŸ¨ Motivationª  óFŸ¨ Motivationª  óG Ÿ¨Previous Resultsª  Ÿª ó�=Ÿ¨Questionª  ó;Ÿ¨ NP-Completeª  ó\Ÿ¨Previous Resultsª  Ÿª ó]Ÿ¨ Connectedª  ó^Ÿ¨ Componentª  óa!Ÿ¨ Cut-vertexª  ób"Ÿ¨Blockª  óe%Ÿ¨Complete Bipartite Graphª  óz6Ÿ¨Treeª  ó{7Ÿ¨ Block Graphª  óH Ÿ¨ Our Resultª   ó†AŸ¨ Our Resultsª  óf'Ÿ¨f-path partition¡‚ª  Ÿ |f: V(G)®ð{0,1,2,3} f-path partition: P: collection of vertex-disjoint paths 1 f (v) `"3 in some path in P 2 f(v)=0 Þð v itself is a path in P 3 f(v)=1 Þð v end vertex of some path in P¡˜%š‚‚� �þÿÿÿ  !"#$%&'()*+,-./0123456789:;<=>?@ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]^_`abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}~€�‚ƒ„…†‡ˆ‰Š‹Œ�Ž��‘’“”•–—˜™š›œ�žŸ ¡¢£¤¥¦§¨©ª«¬­®¯°±²³´µ¶·¸¹º»¼½¾¿ÀÁÂÃÄÅÆÇÈÉÊËÌÍÎÏÐÑÒÓÔÕÖרÙÚÛÜÝÞßàáâãäåæçèéêëìíîïðñòóôõö÷øùúûüýþÿ      !"#$%&'()*+,-./0123456789:;<=>?@ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]^_`abcdefghijklmnopqrstuvwxyz¤|}~€�‚ƒ„…†‡ˆ‰Š‹Œ�þÿÿÿ��‘’“”•–—˜™š›œ�Éýÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿ£þÿÿÿ¥¦§¨©ª«¬­®¯°±²³´µ¶·¸¹º»¼½¾¿ÀÁÂÃŽþÿÿÿÆÇÈþÿÿÿÊËÌÍÎÏÐÑÒÓÔÕÖרÙÚÛÜÝÞßàáâãäåæçèéêëìíîïðñòóôõö÷øùúûüýþýÿÿÿRoot Entryÿÿÿÿÿÿÿÿ��d›Oφꪹ)èàÚü¼ÅÅPicturesÿÿÿÿÿÿÿÿCurrent Userÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ,SummaryInformation(ÿÿÿÿ{$PowerPoint Document(ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ\DocumentSummaryInformation8ÿÿÿÿÿÿÿÿ˜ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿMicrosoft ¹e z_è}/�hV 3.0Ì”Í0Ãl»¸ºEquation ºEquation.30º(Microsoft ¹e z_è}/�hV 3.0Ì”Í0Ãm¼¸ºEquation ºEquation.30º(Microsoft ¹e z_è}/�hV 3.0Ì”Í0Ãn½¸ºEquation ºEquation.30º(Microsoft ¹e z_è}/�hV 3.0Ì”Í0Ão¾¸ºEquation ºEquation.30º(Microsoft ¹e z_è}/�hV 3.0òâ/È 0ÒÕ·DArialgsRo„®¸¤Üb˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 0"·D°e0}fÔšgsRo„®¸¤Üb˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 0ˆ ·DTimes New Roman˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 00·DTahomaew Roman˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 0"@·DWingdingsRoman˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 0P·DjwiÔšdingsRoman˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 0ˆA`·DSymbolgsRoman˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 0¤ €a€¥.©  @£nÿý?" dd@ÿÿï€ÿÿ  @@``€€ ôðìð8˜¦m>FL FG ( ! ""$-/1 7 , ""&%( *#&' *)( )5'# "!   + &% %$>!?ð„2ð$L7HãFø<ä:Á$Ñ*¯ ÿm»2ð$m2âýåÕ¤b—~I¢÷{ëíÿõm»2ð$žèU`·o¸-îq6¯±«ÿ‚b» ð�0e‚˜²ƒ0e„˜²…‡ˆ‰¿ ô€�‚ƒ„†A‡Áˆ‰Š‹Œ�Ž��•–—Á˜™š›œ@¿ÀÁÂÿÿÿÄÅAÆÁÇÈÉÊË5%ÌÍÎÏÁÐÑÒÓÔÕÖ×ÿËËË8c8c     ?€�‚ƒœ1„…ðù†‡÷¿ÀÁÂdÃÄÅÆÇÈÉÊ0uËÐÌ0íìÿÍ@T‰Î€Ï€ÿÿÐyÿÑ2Ò NÓPÃÔÕ'Öp”×°<ÿÿØÙ'Úp”ÿ@A¨)BCD|¾E?„…†‡ˆŠ@ñÿÿÿÿÿÿÿÿ÷ð8ó9 €ó: €Ð7ÿ ºuìÊš;2NÍÉÊš;úgþý41d1dì 0èØbvÿÿÿ²ÿÿÿpûppû@ <ý4!d!d® 0¤Üb„¬¸b<ý4dddd® 0¤Üb„¬¸b?Ù Ú%OÙ Ú=ð;ó>Ÿ¨-Path Partition for Graphs With Special Blocksª . Ÿ $XoÊOpg September 2005¡,d�dª  óUŸ¨Outlineª  Ÿ¨@Introduction Motivation Previous results Main result Future workª A ó?Ÿ¨ Graph G=(V,E)¡>ƒƒª  ó_ Ÿ¨Subgraph H of a Graph G¡2 ‚ ‚ª  óXŸ¨Pathª  óVŸ¨Path-partition ¡�ª  óYŸ¨Path-partition ¡�ª  óWŸ¨Path-partition Number p(G) ¡Jƒ�ƒ�ª  óBŸ¨Path-partition Number p(G)¡Bƒ�ƒ�ª  óc#Ÿ¨Cycleª  ó[Ÿ¨ Hamiltonianª  óv2Ÿ¨Complete Graph Kn¡,‚ ‚çÿª&   óCŸ¨ Motivationª  Ÿ RSkupieD 1974 Hamiltonian shortage SH(G) ¡x* ƒ ƒçÿ�ƒ�‚ª $ óDŸ¨ Motivationª  óEŸ¨ Motivationª  óFŸ¨ Motivationª  óG Ÿ¨Previous Resultsª  Ÿª ó�=Ÿ¨Questionª  ó;Ÿ¨ NP-Completeª  ó\Ÿ¨Previous Resultsª  Ÿª ó]Ÿ¨ Connectedª  ó^Ÿ¨ Componentª  óa!Ÿ¨ Cut-vertexª  ób"Ÿ¨Blockª  óe%Ÿ¨Complete Bipartite Graphª  óz6Ÿ¨Treeª  ó{7Ÿ¨ Block Graphª  óH Ÿ¨ Our Resultª   óf'Ÿ¨f-path partition¡‚ª  Ÿ |f: V(G)®ð{0,1,2,3} f-path partition: P: collection of vertex-disjoint paths 1 f (v) `"3 in some path in P 2 f(v)=0 Þð v itself is a path in P 3 f(v)=1 Þð v end vertex of some path in P¡˜%š‚‚� �‚@‚(@‚‚@@‚@‚‚�‚@‚@‚�‚@‚@ª ¿ ój*Ÿ¨f-path partition number pf(G)¡X‚‚ ‚çÿ‚ª  óp,Ÿ¨Inductive Theoremª  ó…AŸ¨Inductive Theoremª  óh(Ÿ¨Inductive Theoremª  ói)Ÿ¨Inductive Theoremª  ók+Ÿ¨Inductive Theoremª  ó~:Ÿ¨Basisª  óq-Ÿ¨Basisª  ór.Ÿ¨Basisª  ós/Ÿ¨Basisª  ót0Ÿ¨Basisª  óu1Ÿ¨Basisª  óI Ÿ¨ Our Resultª  óJ ów3óK ó|8óLóx4óMó}9óNóy5óOóPóQóRóSó‚?Ÿ¨Time Complexityª  Ÿ¨�The depth-first search to find all blocks and cut-vertices, and requires O(|E|) time Each subroutine requires O(|V(B)|+|E(B)|) operations. ¡ÒŽI‚‚@‚‚‚‚‚ @ª Ž óTŸ¨ Future workª  Ÿ pPath partition Tree structure ’!small separator structure¡*9ª8  óƒ@Pÿÿÿ!!bêîpï €  ðàð ”ð°ð( ð ð”ðr ð” S ð€P»«¿ÿ üð…ÕUðà  « ð žð° ð” £ ð<€ ¬�‚ƒà¥„…¿�¿ÿðÔ™+ º ðDŸ¡‚ª ðFB ð” S ðƒà¥…¿Ëg ÿ𷸹š ðFB ð” S ðƒà¥…¿Ëg ÿðE) Fð° ð” £ ð<€ä¬�‚ƒà¥„…¿�¿ÿðÔ" ¹ º ðDŸ¡‚ª ð° ð” £ ð<€\ø«�‚ƒà¥„…¿�¿ÿð` ™+ F  ðDŸ¡‚ª ðFB ð” S ðƒà¥…¿Ëg ÿðò¸¹ÕðFB ð ” S ðƒà¥…¿Ëg ÿðEî Ñ FðFB ð ” S ðƒà¥…¿Ëg ÿð~ ¸¹a ðFB ð ” S ðƒà¥…¿Ëg ÿð ) ðFB ð ” S ðƒà¥…¿Ëg ÿðÑ ) Ò ðFB ð ” S ðƒà¥…¿Ëg ÿð~ | } a ðFB ð”À S ðƒà¥…¿Ëg ÿð˜Eh¼ ðFB ð” S ðƒà¥…¿Ëg ÿð}�Fê ðFB ð” S ðƒà¥…¿Ëg ÿð·ñòš ðFB ð” S ðƒà¥…¿Ëg ÿð·-.š ðFB ð” S ðƒà¥…¿Ëg ÿð˜~ º ðFB ð”@ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð˜ 0 ¿ ðFB ð”@ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð•}£¼ ðé2 ð”  ð`€,ê«…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°Ð À   ðKŸ¨g¡‚ª  ðé2 ð”  ð`€—«…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°ð à   ðKŸ¨f¡‚ª  ðé2 ð”  ð`€4û–…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð@0 ð ðKŸ¨h¡‚ª  ðé2 ð”  ð`€ôñ–…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðp @0 `  ðKŸ¨a¡‚ª  ðé2 ð”  ð`€”(–…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðp ð à `  ðKŸ¨b¡‚ª  ðé2 ð”  ð`€q …‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� ð à €  ðKŸ¨c¡‚ª  ðé2 ð”  ð`€œ£ …‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°°   ðKŸ¨j¡‚ª  ðé2 ð”  ð`€ð¥ …‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� ° €  ðKŸ¨l¡‚ª  ðé2 ð”  ð`€D¨ …‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°�€  ðKŸ¨i¡‚ª  ðé2 ð”  ð`€ ¬ …‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� �€€  ðKŸ¨k¡‚ª  ðé2 ð”  ð`€¤« …‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°@0   ðKŸ¨e¡‚ª  ðé2 ð ”  ð`€˜® …‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� @0 €  ðKŸ¨d¡‚ª  ðH ð” ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìr¥ä…ÉõAí�äA$…÷¿è,é(€àà€  ´ pÌ”ÍÃ@·¸ºEquation ºEquation.30º(Microsoft ¹e z_è}/�hV 3.0Ì”Í0Ã`º¸ºEquation ºEquation.30º(Microsoft ¹e z_è}/�hV 3.0 þÿÿÿþÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿþÿ ÕÍÕœ.“—+,ù®0hˆ�¤°¸ÀÈ Ð Øà èðø  ì¶ ¦p¿Ã¹õ¤j¤pp¿Ã\º<í EArial ·s²Ó©úÅéTimes New RomanTahoma Wingdings¼Ð·¢ÅéSymbolBlendsMicrosoft ¤èµ{¦¡½s¿è¾¹ 3.0.Path Partition for Graphs With Special BlocksOutlineGraph G=(V,E)Subgraph H of a Graph GPathPath-partition Path-partition Path-partition Number p(G) Path-partition Number p(G)Cycle HamiltonianComplete Graph Kn Motivation Motivation Motivation MotivationPrevious Results Question NP-CompletePrevious Results Connected Component Cut-vertexBlockComplete Bipartite GraphTree Block Graph Our Result Our Resultsf-path partitionf-path partition number pf(G)Inductive TheoremInductive TheoremInductive TheoremInductive TheoremBasisBasisBasisBasisBasisBasis Our ResultPowerPoint ²³øPowerPoint ²³øPowerPoint ²³øPowerPoint ²³øPowerPoint ²³øPowerPoint ²³øPowerPoint ²³øPowerPoint ²³øPowerPoint ²³øPowerPoint ²³øPowerPoint ²³øPowerPoint ²³øPowerPoint ²³øPowerPoint ²³øPowerPoint ²³øTime Complexity Future workPowerPoint ²³ø  ¨Ï¥Î¦r«¬ ²³ø³]­p½d¥»¤º´O OLE ¦øªAµ{¦¡ §ë¼v¤ù¼ÐÃD<<ö_À‘ãä[ô¸UserUser‚@‚(@‚‚@@‚@‚‚�‚@‚@‚�‚@‚@ª ¿ ój*Ÿ¨f-path partition number pf(G)¡X‚‚ ‚çÿ‚ª  óp,Ÿ¨Inductive Theoremª  óh(Ÿ¨Inductive Theoremª  ói)Ÿ¨Inductive Theoremª  ók+Ÿ¨Inductive Theoremª  ó~:Ÿ¨Basisª  óq-Ÿ¨Basisª  ór.Ÿ¨Basisª  ós/Ÿ¨Basisª  ót0Ÿ¨Basisª  óu1Ÿ¨Basisª  óI Ÿ¨ Our Resultª  óJ ów3óK ó|8óLóx4óMó}9óNóy5óOóPóQóRóSó‚?Ÿ¨Time Complexityª  Ÿ¨�The depth-first search to find all blocks and cut-vertices, and requires O(|E|) time Each subroutine requires O(|V(B)|+|E(B)|) operations. ¡ÒŽI‚‚@‚‚‚‚‚ @ª Ž óTŸ¨ Future workª  Ÿ pPath partition Tree structure ’!small separator structure¡*9ª8  óƒ@Pÿÿÿ!!bêîï €ù  ð˜0ðxð0ð( ð ðxðx ðx c ð$€¸¿ÿ ˆð� ` à ðà  ð žðx ðx c ð$€t¿ÿ ˆð�p�Pðà  ð žðH ðx ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33ÌîÙï  €ù qðiÀðôðð( ð ðôðx ðô c ð$€H»’¿ÿ üˆð…ÕUðà  ’ ð žðè2 ðô # ðl€¸¼’…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðpð�ð ðLŸ¨tree¡ª  ðì2 ðô # ðl€lÀ’…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðP P ° Ð  ðPŸ¨interval¡  ª  ðä2 ðô  ðf€xÃ’…‡¿�¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðÀ ðÀ ðNŸ¨planar¡ª  ðð2 ðô # ðl€4Ç’…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðPà �  ðTŸ¨ circular-arc¡  ª  ðé2 ðô # ðl€”Ë’…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðÀ À�à  ðMŸ¨block¡ª  ðý2 ðô  ðf€\·’…‡¿�¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð` àp @ ðgŸ¨chordal bipartite¡ª   ðó2 ð ô  ðf€tÒ’…‡¿�¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðàÀP`  ð]Ÿ¨chordal¡ª  ð2 ð ô  ðf€Ö’…‡¿�¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð @p  ðrŸ¨strongly chordal¡ª&    ðù2 ð ô # ðl€ÈÙ’…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð Àð  ð]Ÿ¨cograph¡ª  ð2 ð ô # ðl€€Ý’…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðР € ðeŸ¨cocomparability¡ª  ð2 ð ô # ðl€Há’…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðÐð P ðeŸ¨bipartite distance hereditary¡ª  ðç2 ðô  ðf€Œå’…‡¿�¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð€ €à0  ðQŸ¨ bipartite¡  ª  ð‚B ðô€ ó ðZ…¿D¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðà `€Ðð‚B ðô ó ðZ…¿D¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð@@@@ð‚B ðô ó ðZ…¿D¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðà @@pð‚B ðô ó ðZ…¿D¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð ppÀ ð‚B ðô ó ðZ…¿D¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð`    ð‚B ðô€ ó ðZ…¿D¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð P ð€ ð‚B ðô@ ó ðZ…¿D¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð 0 À P ð‚B ðô ó ðZ…¿D¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð  °À` ð‚B ðô ó ðZ…¿D¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðP p Ðð‚B ðô ó ðZ…¿D¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð� �ð‚B ðô ó ðZ…¿D¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð€pp ð�B ðô ó ðZ…‡¿D¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð0 00ðH ðô ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33ÌîÓï € ƒð{°ð øðð( ð ðøðr ðø S ð€p¡’¿ÿ üð…ÕUðà  ’ ð žðe¢ ðø  ð`€¤¢’…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð¦6çy  ðÕŸ¨IA graph G is connected if each pair of vertices in G belongs to a path.¡\JC ‚ +C ‚ C ª J ðç2 ðø # ðl€Xª’…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðÐ0 € ð  ðKŸ¨a¡‚ª  ðç2 ðø # ðl€H®’…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðРðð  ðKŸ¨b¡‚ª  ðç2 ðø # ðl€@±’…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð€ 0 €   ðKŸ¨d¡‚ª  ðç2 ðø # ðl€,´’…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð° Ð Ð ðKŸ¨c¡‚ª  ðˆB ðø  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ð` €  ` ðˆB ð ø  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ðð ð ð € ðˆB ð ø  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ð€ ÐðˆB ð ø  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ðð 00à ðH ðø ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìîæ ï € – ðŽ �ðð& ð( ð ððr ð S ð€Ì{’¿ÿ üð…ÕUðà  ’ ð žð<¢ ð  ð`€}’…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ðuÆH  𬟨XA cut-vertex of a graph is a vertex whose deletion increases the number of components.¡$YXC ª Y ð4B ð # ð Ëg ÿð“} �  ð4B ð@ # ð Ëg ÿð“� Ÿ ð4B ð@ # ð Ëg ÿð } � ªð4B ð # ð Ëg ÿð � Ÿªð4B ð@ # ð Ëg ÿðª} Ÿ«ð4B ð  # ð Ëg ÿð“} Ÿ”ð�2 ð  ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð0à Ð ð�2 ð  ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð0ð ð�2 ð  ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð  � ð�2 ð  ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð@ 0 ð�2 ð ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð@0 0 ð4B ð@ # ð Ëg ÿðªMo«ð4B ð # ð Ëg ÿð“Mo”ð�2 ð ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð0°  ð�2 ð ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð0ÐÀ ð�2 ð ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð@àÐ0 ð�2 ð ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð@ð0 ðH ð ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìî2ï € âðÚ€ð ðrð( ð ð ðr ð  S ð€ôq’¿ÿ üð…ÕUðà  ’ ð žðD¢ ð   ð`€(s’…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð¥&5x  𴟨PA block of a graph G is a maximal connected subgraphs that has no cut-vertex. ¡QQC ª&-    ð4B ð @ # ð Ëg ÿðo ú ð4B ð  # ð Ëg ÿðo /ú ð4B ð @ # ð Ëg ÿðú /û ð�2 ð  ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð€ p ` pð�2 ð  ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð€ �€pð�2 ð  ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðð °  à ðH ð  ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìîîï € žð–pð ð.ð( ð ððr ð S ð€ k’¿ÿ üð…ÕUðà  ’ ð žð�2 ð ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð ÐÀ�ð�2 ð ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð ÐÀ� ð�2 ð ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð ÐÀð ð�2 ð ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðÀ °ð�2 ð ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðP  @ ð:B ðÀ 3 ðÀËÚÿð`À ð:B ð À 3 ðÀËÚÿð�� € ð:B ð @ 3 ðÀËÚÿðPÀ ð:B ð À 3 ðÀËÚÿð À € ð:B ð @ 3 ðÀËÚÿð€� ð:B ð @ 3 ðÀËÚÿð° À 0 ðH ð ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33ÌîÏï € ðw`ð dðð( ð ðdðr ðd S ð€dY’¿ÿ üð…ÕUðà  ’ ð žð�2 ðd ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð@0 ð�2 ðd ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð€�€pð�2 ðd ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð€P @ pð�2 ðd ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð À° ð�2 ðd ó ðZ…‡¿�ƒ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðP @0 @ ðˆB ð d@  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ðÐPp€ðˆB ð d  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ðÐ0 à °ðˆB ð d@  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ð@€� ðˆB ð d  ð`…¿D¿ÀËŸoÖÿ?¿ÿ?„†ðpPpP ðõ¢ ð d  ð`€Ü]’…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð �   ðeŸ¨H. A. Jung 1978¡C ª  ð(¢ ðd  ð`€?@ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUþÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ žðˆ ð  S ð€Ø!’¿ÿ üð÷é ðà ’ ð"ž¦ø€p`PpðH ð  ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33ÌîÇï € wðo ð,ðð( ð ð,ðr ð, S ð€$ý‘¿ÿ üð…ÕUðà  ‘ ð žðU¢ ð,  ð`€Ü’…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ðæf�R  ðÅŸ¨»f-path-partition problem is to determine the f-path-partition number pf(G) which is the minimum cardinality of an f-path partition of G. p(G)=pf(G) when f(v)=2 for all vertices v in G.¡Î¼‚ -C ‚ C ‚  ‚ çÿ ‚  (C ‚ C ‚ C ‚  ‚  ‚  ‚ çÿ ‚  C ‚  ‚  C ‚ C ‚ C ª»  ðH ð, ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìîï € ±ð©ð<ðAð( ð ð<ðr ð< S ð€¨é‘¿ÿ üð…ÕUðà  ‘ ð žðç2 ð< # ðl€ðê‘…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð °p�  ðKŸ¨A¡‚ª  ðç2 ð< # ðl€ˆí‘…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð� ð0à  ðKŸ¨B¡‚ª  ðã2 ð<  ðf€$Α…‡¿�¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð� P p °  ðMŸ¨x¡‚ ª  ðÛ¢ ð<  ð`€˜ô‘…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ðà€­M ðKŸ¨G¡‚ ª  ð㢠ð<  ð`€Ô÷‘…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ðe v(Ò  ðSŸ¨ end block¡  C ª  ðH ð< ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìî€ï € 0ð(ð$ðÀð( ð ð$ðr ð$ S ð€P™‘¿ÿ üð…ÕUðà  ‘ ð žð¢ ð$  ð`€¸Î‘…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð–>q  ð~Ÿ ,x: a specified vertex of a graph H in which f is a vertex labeling. i=0,1,2,3 f i :V(H)®ð{0,1,2,3} f i(y)=f(y) for all vertices y except f i(x)=i.¡—‚ C ‚ C ‚ C  ‚  C ‚  ‚ çÿC ‚ C ‚ C à C ‚  ‚ çÿC ‚ C ‚ C ‚ C ‚ C ‚  ‚ çÿC ‚ C ‚ C ª–  ðH ð$ ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33ÌîÂï € rðjðð(ðð( ð ð(ðr ð( S ð€Hf‘¿ÿ üð…ÕUðà  ‘ ð žðP¢ ð( ã ðT€À˜‘¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ðLV㸠 ðÌŸ б=pf0(B)-pf1(B) ²=pf1(B)-pf2(B) 1 f(x)=0 Þð pf(G)=pf(A)+pf(B)-1. 2 f(x)=1 Þð pf(G)=pf1-±(A)+pf±(B)-1.¡Ìi ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  C  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  C ‚  ‚  ƒ  ‚  ‚ çÿ ‚  ‚  ‚ çÿ ‚  ‚  ‚ çÿ ‚  C ‚  ‚  ƒ  ‚  ‚ çÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  ª i ðH ð( ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33ÌîN ï € þðö°ðDðŽð( ð ðDðr ðD S ð€P¹�¿ÿ üð…ÕUðà  � ð žðÜ¢ ðD  ð`€ø‘…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð@Ë\ ðLŸ *B is a path x: end vertex of B with f(x)=3 Þð pf(B)=pf(B-x). x: end vertex of B with f(x)=2 Þð pf(B)=pf1(B). B: end vertex x and another vertex y with f(x)=f(y)=1 no vertex between x and y has a label 1 Þð pf(B)=pf(B  )+1 B : path obtained from B by deleting [x, y].¡æ C ‚ C ‚ C ‚  ‚  C à ‚  ‚ çÿ ‚  ‚  ‚ çÿ ‚  ‚  C ‚ C ‚ C ‚  ‚  C à ‚  ‚ çÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  Îÿ ‚  C ‚ C ‚ C ‚ C ‚  ‚  ‚  ‚  C ‚ C‚ C ‚ C à C ‚  ‚ çÿ ‚  ‚   çÿ ‚ C  C ‚ C ‚ C  ‚  ‚  C ª  ðH ðD ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìîj ï €  ð €ð Pðª ð( ð ðPðr ðP S ð€4*�¿ÿ üð…ÕUðà  � ð žðÜ¢ ðP  ð`€ü/�…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð°0æé  ðLŸ xÎðC1. Also, either d2³ð1 with yÎðD2, or else c1>d1 and d2=0<d3 with yÎðD3. Then pf(B)=pf '(B-x), where f' is the same as f except f'(y)=1.¡ˆ‚ ƒ ‚   çÿC ‚   çÿƒ  C ‚ ƒ ‚   çÿ C ‚   çÿ ‚   çÿC ‚   çÿ ‚   çÿC ‚ ƒ‚ ‚  ‚ çÿC ‚  ‚ çÿ ‚  ‚  ‚ çÿ  çÿ ‚  ‚  C ‚ C ‚ C ‚  ‚  C ª‡  ð2 ðP # ðl€!�…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðp @  ðrŸ¨x f(x)=1¡: ‚‚ª  ð2 ðP # ðl€ÔX�…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð  ðÀ P ðrŸ¨y f(y)=2¡: ‚‚ª  ðì¢ ðP  ð`€ÐT�…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð� à Q ý  ð\Ÿ Þð¡*à C ª  ðÞ2 ð P # ðl€(b�…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð@ àð ðBŸ¡ª ð2 ð P # ðl€He�…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð@ `0ð ðrŸ¨y f(y)=1¡: ‚‚ª  ðH ðP ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33ÌîM ï €ù å ðÝ pð¤ñði ð( ð ð¤ðx ð¤ c ð$€¼�¿ÿ üˆð…ÕUðà  � ð žð¢ ð¤ ã ðT€, �¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð0P€� ð�Ÿ¨7f-path partition: a collection of vertex-disjoint paths¡&8‚ 7 ª 8 ð(ðF ð0p �  ð¤ ðˆð@Ð@` ðé2 ð¤  ðf€´û …‡¿�¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ð€p �  ðKŸ¨a¡‚ª  ðᢠð¤  ð`€÷ …‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð0p �  ðIŸ¨0¡ª ð4ðL ðæ«à ð¤# ð ˆð Õðï2 ð¤ # ðl€ì�…‡¿�ƒ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðà«Ë ðKŸ¨d¡‚ª  ðᢠð ¤  ð`€„�…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ðæÀÃà ðIŸ¨3¡ª ðÀðL ð�; P [  ð ¤# ð ˆð€ Ð�   ðé2 ð ¤  ðf€ �…‡¿�¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðà; [  ðKŸ¨b¡‚ª  ðᢠð ¤  ð`€d�…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ð�; m[  ðIŸ¨1¡ª ðŠB ð ¤ ó ðZ…¿D¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ðË P Ë ðç2 ð¤ # ðl€Ä�…‡¿�Ìÿ¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ˆðÀ 0 à  ðKŸ¨c¡‚ª  ðߢ ð¤  ðf€Ü#�…‡¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ˆðp @ �  ðIŸ¨2¡ª ðˆB ð¤  ð`…¿D¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ˆðP P ðˆB ð¤  ð`…¿D¿ÀÖÿ?¿ÿ?„†ˆðP 0 À P ð`² ð¤ c ð$A ?¿ÿ?ðàÐ0 8ð Á ðH 𤠃 ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìîäï  € ”ðŒ`ðˆð$ð( ð ðˆðr ðˆ S ð€ ó ¿ÿ üð…ÕUðà   ð žðr ðˆ S ð€´ó ¿ÿ üð÷é ðà   ð žðH ðˆ ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìr„}$>—PH ƒ˜ ß\ §Rˆfa coQye ‹~±h0ð½xópç·rBÊu˜Óz �„X�‚_솘�õAíY$Kî†÷¿è,é(€àà€  ´ pÌ”ÍÃ@·¸ºEquation ºEquation.30º(Microsoft ¹e z_è}/�hV 3.0Ì”Í0Ã`º¸ºEquation ºEquation.30º(Microsoft ¹e z_è}/�hV 3.0Ì”Í0Ãl»¸ºEquation ºEquation.30º(Microsoft ¹e z_è}/�hV 3.0Ì”Í0Ãm¼¸ºEquation ºEquation.30º(Microsoft ¹e z_è}/�hV 3.0Ì”Í0Ãn½¸ºEquation ºEquation.30º(Microsoft ¹e z_è}/�hV 3.0Ì”Í0Ão¾¸ºEquation ºEquation.30º(Microsoft ¹e z_è}/�hV 3.0òâ/È 0ÒÕ·DArialgsRo„®¸¤Üb˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 0"·D°e0}fÔšgsRo„®¸¤Üb˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 0ˆ ·DTimes New Roman˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 00·DTahomaew Roman˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 0"@·DWingdingsRoman˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 0P·DjwiÔšdingsRoman˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 0ˆA`·DSymbolgsRoman˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 0¤ €a€¥.©  @£nÿý?" dd@ÿÿï€ÿÿ  @@``€€ üðôð@"˜§n>FL FG ( ! ""$-/1 7 , ""&%( *#&' *)( )5'# "!   + &% %$!?"?ð„2ð$L7HãFø<ä:Á$Ñ*¯ ÿm»2ð$m2âýåÕ¤b—~I¢÷{ëíÿõm»2ð$žèU`·o¸-îq6¯±«ÿ‚b» ð�0e‚˜²ƒ0e„˜²…‡ˆ‰¿ ô€�‚ƒ„†A‡Áˆ‰Š‹Œ�Ž��•–—Á˜™š›œ@¿ÀÁÂÿÿÿÄÅAÆÁÇÈÉÊË5%ÌÍÎÏÁÐÑÒÓÔÕÖ×ÿËËË8c8c     ?€�‚ƒœ1„…ðù†‡÷¿ÀÁÂdÃÄÅÆÇÈÉÊ0uËÐÌ0íìÿÍ@T‰Î€Ï€ÿÿÐyÿÑ2Ò NÓPÃÔÕ'Öp”×°<ÿÿØÙ'Úp”ÿ@A¨)BCD|¾E?„…†‡ˆŠ@ñÿÿÿÿÿÿÿÿ÷ð8ó9 €ó: €Ð7ÿ ºuìÊš;2NÍÉÊš;úgþý41d1dì 0èØbvÿÿÿ²ÿÿÿpûppû@ <ý4!d!d® 0¤Üb„¬¸b<ý4dddd® 0¤Üb„¬¸b?Ù Ú%OÙ Ú=ð)ó>Ÿ¨-Path Partition for Graphs With Special Blocksª . Ÿ $XoÊOpg September 2005¡,d�dª  óUŸ¨Outlineª  Ÿ¨@Introduction Motivation Previous results Main result Future workª A ó?Ÿ¨ Graph G=(V,E)¡>ƒƒª  ó_ Ÿ¨Subgraph H of a Graph G¡2 ‚ ‚ª  óXŸ¨Pathª  óVŸ¨Path-partition ¡�ª  óYŸ¨Path-partition ¡�ª  óWŸ¨Path-partition Number p(G) ¡Jƒ�ƒ�ª  óBŸ¨Path-partition Number p(G)¡Bƒ�ƒ�ª  óc#Ÿ¨Cycleª  ó[Ÿ¨ Hamiltonianª  óv2Ÿ¨Complete Graph Kn¡,‚ ‚çÿª&   óCŸ¨ Motivationª  Ÿ RSkupieD 1974 Hamiltonian shortage SH(G) ¡x* ƒ ƒçÿ�ƒ�‚ª $ óDŸ¨ Motivationª  óEŸ¨ Motivationª  óFŸ¨ Motivationª  óG Ÿ¨Previous Resultsª  Ÿª ó�=Ÿ¨Questionª  ó;Ÿ¨ NP-Completeª  ó\Ÿ¨Previous Resultsª  Ÿª ó]Ÿ¨ Connectedª  ó^Ÿ¨ Componentª  óa!Ÿ¨ Cut-vertexª  ób"Ÿ¨Blockª  óe%Ÿ¨Complete Bipartite Graphª  óz6Ÿ¨Treeª  ó{7Ÿ¨ Block Graphª  óH Ÿ¨ Our Resultª   ó†AŸ¨ Our Resultsª  óf'Ÿ¨f-path partition¡‚ª  Ÿ |f: V(G)®ð{0,1,2,3} f-path partition: P: collection of vertex-disjoint paths 1 f (v) `"3 in some path in P 2 f(v)=0 Þð v itself is a path in P 3 f(v)=1 Þð v end vertex of some path in P¡˜%š‚‚� �‚@‚(@‚‚@@‚@‚‚�‚@‚@‚�‚@‚@ª ¿ ój*Ÿ¨f-path partition number pf(G)¡X‚‚ ‚çÿ‚ª  óp,Ÿ¨Inductive Theoremª  óh(Ÿ¨Inductive Theoremª  ói)Ÿ¨Inductive Theoremª  ók+Ÿ¨Inductive Theoremª  ó~:Ÿ¨Basisª  óq-Ÿ¨Basisª  ór.Ÿ¨Basisª  ós/Ÿ¨Basisª  ót0Ÿ¨Basisª  óu1Ÿ¨Basisª  óI Ÿ¨ Our Resultª  óJ ów3óK ó|8óLóx4óMó}9óNóy5óOóPóQóRóSó‚?Ÿ¨Time Complexityª  Ÿ¨�The depth-first search to find all blocks and cut-vertices, and requires O(|E|) time Each subroutine requires O(|V(B)|+|E(B)|) operations. ¡ÒŽI‚‚@‚‚‚‚‚ @ª Ž óTŸ¨ Future workª  Ÿ pPath partition Tree structure ’!small separator structure¡*9ª8  óƒ@Pÿÿÿ!!bêîaï € ð ðð!!˜ð¡ð( ð ð˜ðx ð˜ c ð$€\ܬ¿ÿ üˆð…ÕUðà  ¬ ð žð° 𘠣 ð<€,å¬�‚ƒà¥„…¿�¿ÿðÔ™+ º ðDŸ¡‚ª ðFB ð˜ S ðƒà¥…¿Ëg ÿ𷸹š ðFB ð˜ S ðƒà¥…¿Ëg ÿðE) Fð° 𘠣 ð<€¸ç¬�‚ƒà¥„…¿�¿ÿðÔ" ¹ º ðDŸ¡‚ª ð° 𘠣 ð<€„ë¬�‚ƒà¥„…¿�¿ÿð` ™+ F  ðDŸ¡‚ª ðFB ð˜ S ðƒà¥…¿Ëg ÿðò¸¹ÕðFB ð ˜ S ðƒà¥…¿Ëg ÿðEî Ñ FðFB ð ˜ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð~ ¸¹a ðFB ð ˜ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð ) ðFB ð ˜ S ðƒà¥…¿Ëg ÿðÑ ) Ò ðFB ð ˜ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð~ | } a ðFB ð˜À S ðƒà¥…¿Ëg ÿð˜Eh¼ ðFB ð˜ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð}�Fê ðFB ð˜ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð·ñòš ðFB ð˜ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð·-.š ðFB ð˜ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð˜~ º ðFB ð˜@ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð˜ 0 ¿ ðFB ð˜@ S ðƒà¥…¿Ëg ÿð•}£¼ ðé2 ð˜  ð`€|ó¬…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°Ð À   ðKŸ¨g¡‚ª  ðé2 ð˜  ð`€øö¬…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°ð à   ðKŸ¨f¡‚ª  ðé2 ð˜  ð`€¬Å¬…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð@0 ð ðKŸ¨h¡‚ª  ðé2 ð˜  ð`€ÀǬ…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðp @0 `  ðKŸ¨a¡‚ª  ðé2 ð˜  ð`€Lì…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ðp ð à `  ðKŸ¨b¡‚ª  ðé2 ð˜  ð`€ä¬…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� ð à €  ðKŸ¨c¡‚ª  ðé2 ð˜  ð`€üW¬…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°°   ðKŸ¨j¡‚ª  ðé2 ð˜  ð`€Xø¬…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� ° €  ðKŸ¨l¡‚ª  ðé2 ð˜  ð`€hû¬…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°�€  ðKŸ¨i¡‚ª  ðé2 ð˜  ð`€`»¬…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� �€€  ðKŸ¨k¡‚ª  ðé2 ð˜  ð`€t4¬…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð°@0   ðKŸ¨e¡‚ª  ðé2 ð ˜  ð`€<9¬…‡¿�Ìÿ¿Àÿ?¿ÿ„†"ñ¿‚‚ð� @0 €  ðKŸ¨d¡‚ª  ð㢠ð!˜  ð`€(𬅇¿�ƒ¿ Àÿ?¿ÿ?„†ðe v(Ò  ðSŸ¨ end block¡  C ª  ðH 𘠃 ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ33™ä¨ÿÏÿ33Ìrûî†õAí×î~/†÷¿è,é(€àà€  ´ pÌ”ÍÃ@·¸ºEquation ºEquation.30º(Microsoft ¹e z_è}/�hV 3.0Ì”Í0Ã`º¸ºEquation ºEquation.30º(Microsoft ¹e z_è}/�hV 3.0Ì”Í0Ãl»¸ºEquation ºEquation.30º(Microsoft ¹e z_è}/�hV 3.0Ì”Í0Ãm¼¸ºEquation ºEquation.30º(Microsoft ¹e z_è}/�hV 3.0Ì”Í0Ãn½¸ºEquation ºEquation.30º(Microsoft ¹e z_è}/�hV 3.0Ì”Í0Ão¾¸ºEquation ºEquation.30º(Microsoft ¹e z_è}/�hV 3.0òâ/È 0ÒÕ·DArialgsRo„®¸¤Üb˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 0"·D°e0}fÔšgsRo„®¸¤Üb˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 0ˆ ·DTimes New Roman˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 00·DTahomaew Roman˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 0"@·DWingdingsRoman˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 0P·DjwiÔšdingsRoman˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 0ˆA`·DSymbolgsRoman˜«¸ôØbÜØbì 0ôØbWo 0¤ €a€¥.©  @£nÿý?" dd@ÿÿï€ÿÿ  @@``€€ üðôð@"˜§n>FL FG ( ! ""$-/1 7 , ""&%( *#&' *)( )5'# "!   + &% %$!?"?ð„2ð$L7HãFø<ä:Á$Ñ*¯ ÿm»2ð$m2âýåÕ¤b—~I¢÷{ëíÿõm»2ð$žèU`·o¸-îq6¯±«ÿ‚b» ð�0e‚˜²ƒ0e„˜²…‡ˆ‰¿ ô€�‚ƒ„†A‡Áˆ‰Š‹Œ�Ž��•–—Á˜™š›œ@¿ÀÁÂÿÿÿÄÅAÆÁÇÈÉÊË5%ÌÍÎÏÁÐÑÒÓÔÕÖ×ÿËËË8c8c     ?€�‚ƒœ1„…ðù†‡÷¿ÀÁÂdÃÄÅÆÇÈÉÊ0uËÐÌ0íìÿÍ@T‰Î€Ï€ÿÿÐyÿÑ2Ò NÓPÃÔÕ'Öp”×°<ÿÿØÙ'Úp”ÿ@A¨)BCD|¾E?„…†‡ˆŠ@ñÿÿÿÿÿÿÿÿ÷ð8ó9 €ó: €Ð7ÿ ºuìÊš;2NÍÉÊš;úgþý41d1dì 0èØbvÿÿÿ²ÿÿÿpûppû@ <ý4!d!d® 0¤Üb„¬¸b<ý4dddd® 0¤Üb„¬¸b?Ù Ú%OÙ Ú=ð)ó>Ÿ¨-Path Partition for Graphs With Special Blocksª . Ÿ $XoÊOpg September 2005¡,d�dª  óUŸ¨Outlineª  Ÿ¨@Introduction Motivation Previous results Main result Future workª A ó?Ÿ¨ Graph G=(V,E)¡>ƒƒª  ó_ Ÿ¨Subgraph H of a Graph G¡2 ‚ ‚ª  óXŸ¨Pathª  óVŸ¨Path-partition ¡�ª  óYŸ¨Path-partition ¡�ª  óWŸ¨Path-partition Number p(G) ¡Jƒ�ƒ�ª  óBŸ¨Path-partition Number p(G)¡Bƒ�ƒ�ª  óc#Ÿ¨Cycleª  ó[Ÿ¨ Hamiltonianª  óv2Ÿ¨Complete Graph Kn¡,‚ ‚çÿª&   óCŸ¨ Motivationª  Ÿ RSkupieD 1974 Hamiltonian shortage SH(G) ¡x* ƒ ƒçÿ�ƒ�‚ª $ óDŸ¨ Motivationª  óEŸ¨ Motivationª  óFŸ¨ Motivationª  óG Ÿ¨Previous Resultsª  Ÿª ó�=Ÿ¨Questionª  ó;Ÿ¨ NP-Completeª  ó\Ÿ¨Previous Resultsª  Ÿª ó]Ÿ¨ Connectedª  ó^Ÿ¨ Componentª  óa!Ÿ¨ Cut-vertexª  ób"Ÿ¨Blockª  óe%Ÿ¨Complete Bipartite Graphª  óz6Ÿ¨Treeª  ó{7Ÿ¨ Block Graphª  óH Ÿ¨ Our Resultª   ó†AŸ¨ Our Resultsª  óf'Ÿ¨f-path partition¡‚ª  Ÿ |f: V(G)®ð{0,1,2,3} f-path partition: P: collection of vertex-disjoint paths 1 f (v) `"3 in some path in P 2 f(v)=0 Þð v itself is a path in P 3 f(v)=1 Þð v end vertex of some path in P¡˜%š‚‚� �‚@‚(@‚‚@@‚@‚‚�‚@‚@‚�‚@‚@ª ¿ ój*Ÿ¨f-path partition number pf(G)¡X‚‚ ‚çÿ‚ª  óp,Ÿ¨Inductive Theoremª  óh(Ÿ¨Inductive Theoremª  ói)Ÿ¨Inductive Theoremª  ók+Ÿ¨Inductive Theoremª  ó~:Ÿ¨Basisª  óq-Ÿ¨Basisª  ór.Ÿ¨Basisª  ós/Ÿ¨Basisª  ót0Ÿ¨Basisª  óu1Ÿ¨Basisª  óI Ÿ¨ Our Resultª  óJ ów3óK ó|8óLóx4óMó}9óNóy5óOóPóQóRóSó‚?Ÿ¨Time Complexityª  Ÿ¨�The depth-first search to find all blocks and cut-vertices, and requires O(|E|) time Each subroutine requires O(|V(B)|+|E(B)|) operations. ¡ÒŽI‚‚@‚‚‚‚‚ @ª Ž óTŸ¨ Future workª  Ÿ pPath partition Tree structure ’!small separator structure¡*9ª8  óƒ@Pÿÿÿ!!bêrº/õAí–/Ô[†÷¿