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Introduction¡�Ÿª óŸ îProposition 1.1 Suppose G is chordal. Then an edge-coloring of G forbids rainbow cycles iff it forbids rainbow K3 s.¡�xxƒÿþ ‚„‚/‚ çÿª, 4Ÿ R<PF> (Þð) Clear. (Üð) Claim  If an edge-coloring of G has a rainbow cycle, then It admits a rainbow K3. Now let C be a shortest rainbow cycle with |C|³ð4. ¡Ъ‚‚)‚‚‚0‚‚‚Šçÿ ‚‚‚$‚‚‚‚‚óŸ¨yTheorem JL If the edges of Kn are colored with n or more colors actually appearing, then there is a rainbow K3 somewhere.¡šz‚ ƒÿþ�‚ ‚çÿ‚<‚ çÿ "ª]Ÿª ó8*Ÿ æJL(n) coloring A JL(n) coloring is a coloring of the edges of Kn with exactly n-ð1 colors, forbidding rainbow K3 s.¡ÌtŒƒÿþ�ÿþ‚‚*‚ ‚çÿ‚‚‚ çÿª6 *3Ÿª óŸ¨' Characterization of JL(n) Colorings ¡D(“" x�ƒ�ƒ �ª" Ÿª óŸ jLemma 2.1 Suppose n ³ð 2 and Kn is colored with a JL(n) coloring. Then "ðvÎðV(Kn), there is exactly one color appears on edges incident to v and that color doesn t appear in Kn -ðv.¡z¶x ƒÿþ�‚‚‚‚‚ ‚çÿ‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚ ‚çÿ ‚ †„$‚‚‚"‚‚ ‚çÿ‚‚‚‚‚‚ªP ^Ÿª ó Ÿª Ÿª ó Ÿª Ÿ î<PF of Lemma 2.1> By Theorem JL, at least one color appears on the edges incident to v which is not in Kn-ðv. (o.w. $ð a rainbow K3 in Kn-ðv.) If more than two colors appears on the edges incident to v which is not in Kn-ðv, then $ð a rainbow K3. ¡Îø‚ ‚‚ ‚‚7‚‚‚‚‚‚Š‚çÿ‚‚‚‚‚‚Šçÿ‚‚‚Š‚çÿ‚‚‚‚"‚‚‚‚‚‚Š‚çÿ‚‚‚‚‚‚Šçÿ‚ªPhRó Ÿ "Corollary 2.2 Suppose S Ìð V(Kn), 1 £ð |S| £ð n, and Kn is colored with a JL(n) coloring. Then the coloring restricted to <S> is a JL(|S|) coloring.¡v’nƒÿþ‚‚‚‚‚‚‚Š‚çÿ‚‚‚‚‚‚‚‚Š‚çÿ‚‚‚‚‚‚-‚‚‚‚‚‚‚‚‚ ‚ª>GŸ ê<PF> If |S|=n, then it is clear. If |S|<n, let v1, v2, ..., vk be some ordering of V(Kn)-ðS. Apply Lemma 2.1 k times.¡lvn‚‚‚‚‚‚ çÿ‚ çÿ‚ ‚çÿ‚ ‚çÿ‚‚‚‚ ‚‚‚‚‚‚ª,<ó Ÿ¨9Corollary 2.3 In a JL(n) coloring no K3 is monochromatic.¡–:x ƒÿþ�ÿþ‚‚‚‚‚‚‚‚‚Šçÿ‚ª#Ÿ¨V By corollary 2.2, let |S|=3. JL(3) coloring is a coloring with exactly 2 colors.¡ž#4‚ ‚‚‚ „� ó Ÿ¨9Theorem 2.4 Every JL(n) coloring is obtained as follows: ¡^:n ƒÿþ‚‚‚‚‚‚$‚ª$Ÿª ó Ÿª Ÿ¨r First, if a coloring is obtained by above directions, then the coloring is a JL(n) coloring.¡ns‚ ‚Q‚‚ ªc ó Ÿª Ÿ äNow suppose we have a JL(n) coloring. We want to show that it must be achievable as described above. By induction on n. When n=2, clear. Suppose that n>2. Let vÎðV(Kn). By Lemma 2.1, the coloring restricted to Kn-ðv is a JL(n-ð1) coloring. ¡¸f((f‚‚]‚‚‚‚‚‚ ‚çÿ‚‚‚ ‚çÿ‚‚‚‚‚‚‚‚‚ ‚ª>‰,ó Ÿª Ÿ ôBy induction hypothesis, $ð r0, s0ÎðN s.t. r0+s0=n-ð1 and a partition of V(Kn-ðv) into two sets R0, S0 with |R0|=r0, |S0|=s0.¡{‚‚‚Šçÿ‚‚‚Šçÿ‚‚‚‚‚‚Šçÿ‚‚‚Šçÿ‚‚‚‚‚ ‚çÿ‚‚‚‚‚‚Šçÿ‚‚‚Šçÿ‚‚‚Šçÿ‚‚‚Šçÿ‚‚‚Šçÿ‚‚‚Šçÿ‚ª,$/ó Ÿª Ÿ By Lemma 2.1, let red be the color on an edge incident to v which does NOT appear in Kn-ðv. WLOG, red appears on a v-to-R0 edge.¡ü� ‚ÿþ&‚‚‚Š‚çÿ‚‚‚‚†ÿþ‚‚‚‚‚‚Šçÿ‚ªV'óŸª Ÿ¨3Then all v-to-S0 edges must be either red or green.¡~4 ‚‚ çÿÿþ™þóŸª Ÿª óŸª Ÿ VCase 1 All v-to-S0 edges are green. Notice that no v-to-R0 edge is green. Also, no v-to-R0 edge has a color appearing in <S0>. Now let R=R0*"{v}, S=S0. Thus we have done.¡Ü¬„‚‚çÿ ™þ‚‚ çÿ ™þ ‚‚ çÿ ‚ çÿ ‚‚ çÿ‚‚‚‚‚‚‚‚‚Šçÿ‚óŸª Ÿª óŸª Ÿ¨O A JL(9) coloring obtained by Thm 2.4 corresponds a full binary tree.¡BP ‚‚"ª'&óŸª Ÿª óŸ¨,Essentially the same, essentially different ¡"-+�0Ÿ¨åTwo edge-colorings of Kn are essentially the same if there is a permutation of the vertices of Kn and a renaming of the colors that takes one coloring into the other. Otherwise, the two colorings are essentially different . ¡žæ‚ ‚çÿ„/‚ ‚çÿ‚g„ª,IƒóŸ¨ÓCorollary 2.5 Suppose n>1. For any color appearing in a JL(n) coloring, the subgraph of Kn induced by the edges of that color is a complete bipartite graph. The subgraph is spanning in Kn for exactly one color.¡ÆÔnƒÿþ‚!‚‚‚‚‚‚‚‚Š‚çÿ_‚‚‚Š‚çÿ‚ªb8HŸ¨ By Thm 2.4.¡B‚‚ªó Ÿ¨™Corollary 2.6 For n>2, the essentially different JL(n) colorings are in natural one-to-one correspondence with different full binary trees with n leafs. ¡œš‚ ƒÿþƒ‚‚‚‚‚‚[‚‚‚‚ª1eŸª ó!Ÿª Ÿ¨ACorollary 2.7 For n>1, if n is odd then and if n is even then ¡° 4ƒÿþ‚‚ ‚ ‚ó"Ÿª Ÿ ¶<Example> n=9 Þð t9 = t1t8 + t2t7 + t3t6 + t4t5 n=8 Þð t8 = t1t7 + t2t6 + t3t5 + + t4 ¡¼\‚‚‚‚‚Šçÿ‚‚‚Šçÿ‚‚Šçÿ‚‚‚Šçÿ‚‚Šçÿ‚‚‚Šçÿ‚‚Šçÿ‚‚‚Šçÿ‚‚Šçÿ‚‚‚‚‚‚Šçÿ‚‚‚Šçÿ‚‚Šçÿ‚‚‚Šçÿ‚‚Šçÿ‚‚‚Šçÿ‚‚Šçÿ ‚‚‚Šçÿ‚ó&Ÿ¨ Frequency¡"  �Ÿ¨bIn any coloring of edges, the frequency of a color is the number of edges the color appears on. ¡0c „<ó' Ÿ¨=3. Equalized Edge-colorings of Kn Forbidding Rainbow Cycles¡>>‚ �(ƒ( ƒ(çÿ�(ª Ÿª ó(!Ÿª Ÿª ó)"Ÿª Ÿ Ú<PF> By induction on n. When n=2, it is clear. Suppose that n>2 and Kn is edge-colored with no rainbow K3 s.¡ÂPi‚‚‚‚‚ ‚çÿ"‚ çÿªD(ó*#Ÿª Ÿ ÄLet vÎðV(Kn). In Kn-ðv, $ð a connected spanning subgraph induced by green.(by induction hypothesis)¡Òc‚‚‚‚‚‚‚Š‚çÿ‚‚‚Š‚çÿ‚‚‚-‚†™þ‚ªP ó+$Ÿª Ÿ ¸Let uÎðV(Kn)-ð{v}, and suppose the edge uv is red. Claim the edges incident to v are all red. ¡1n,‚‚‚‚‚‚‚Š‚çÿ‚‚‚‚‚‚‚†ÿþ‚‚‚‚†ÿþ‚ª, 5ó,%Ÿª Ÿ :<PF> When n=2, 3, it is clear. For n>4, since It means no color can appear more than n-ð2 times. By Thm 3.1, there must be one color appearing n-ð1 times. ®ð¬ð¡ôP¾2Œ=Z‚‚‚2‚ ‚‚%‚ ‚‚ªd7ó.&Ÿª Ÿ <PF> (Þð) By Cor 3.2. (Üð) For t =1, 2, it is true. So assume 3 £ð t £ð There is a JL(n) coloring with frequency vector (n-ð1, n-ð2, & , 1). ¡‰n‚‚‚ ‚‚‚"‚‚‚‚‚‚‚‚‚#‚‚‚‚‚‚ ‚ª, @6ó0'Ÿª Ÿ ^Partition {1, 2, & , n-ð1} into t sets C1, C2, & , Ct, s.t. . Notice that in an equalized edge-coloring, every color must appears either or times. Now, merging the colors in the above JL(n) coloring whose frequency is in Cj into a single color. ¡¨52 2´*–‚,´2Zn‚‚‚‚‚‚Šçÿ‚‚‚Šçÿ‚‚‚Š‚çÿ4‚†�ÿþc†%‚‚‚‚‚‚"‚‚‚Š‚çÿŠçÿ‚ª>5·"ó3(Ÿª Ÿ ŠGreedy method Assume m1 £ð m2 £ð & £ð mt. We will pick the elements of C1, then C2,etc.. Start the picking for Cj with the largest unpicked integer which does not cause the sum over Cj to exceed mj.¡vÆ„‚ çÿ‚‚‚Šçÿ‚‚‚Š‚çÿ‚‚‚Šçÿ‚‚‚Šçÿ‚‚‚Š‚çÿF‚‚‚Š‚çÿ ‚‚‚Š‚çÿ‚‚ªP#GF ó6)Ÿª Ÿ¨= For n =15, t =6. Then m1=m2=m3=17 and m4=m5=m6=18.¡$>‚‚‚ ‚ çÿ‚ çÿ‚ çÿ‚ çÿ‚ çÿ‚ çÿó;+Ÿª Ÿ ®Partition {1, 2, 3,& , 8} into five sets: C1={7}, C2={6,1}, C3={5,2}, C4={4,3}, C5={8}¡Xn*‚ÿÿþÿÿþçÿÿÿþ‚€€þ€€þçÿ€€þ‚ÿþÿþçÿÿþ‚™þ™þçÿ™þ‚çÿó=-Ÿ 84. Edge-colorings of Kn(») ¡\x�ƒƒçÿ�(���ª0Ÿª ó<,Ÿ¨ŽLemma 4.1 In any rainbow-K3-forbidding edge coloring of Kn, any two edges bearing colors of frequency 1 in the coloring must be non-incident. ¡z�x ƒÿþ‚ çÿ‚ ‚çÿS�ª8UŸ¨ ¡"‚ªó>.Ÿ¨xCorollary 4.2 In any rainbow-K3-forbidding edge coloring of Kn, no more than of the colors have frequency 1. ¡zy‚ƒÿþ‚ çÿ‚ ‚çÿ9�ª<;Ÿª óA/Ÿ¨VLemma 4.3 There is a JL(n) coloring in which of the colors have frequency 1.¡TWn ƒÿþ ‚‚>ª>Ÿ D<PF> If n=1, 2, then it is clear. For n³ð3, partition n into 2, n-ð2, then partition n-ð2 into 2, n-ð4, and so on. Thus there will be nodes with weight 2.¡Â"<€‚‚‚‚‚‚‚‚‚ ‚‚‚A‚óC0Ÿª Ÿ¨ ¡, ‚óK4Ÿ¨uv edge bundle ¡,ƒ �ªŸ ðIf u and v are distinct vertices in Kn, we refer to the » edges in Kn(») incident to u and v as the uv edge bundle. ¡"y‚‚‚‚çÿ "€€ "‚  *‚ çÿ *€  "€  "‚  "€  "‚  "€  &†   &„  "€  "€ ª>$óD1Ÿ ÊJL(n, ») coloring A rainbow-K3-forbidding edge coloring of Kn(») can be obtained from the followings:¡f‚&ƒÿþ&�ÿþ&ƒÿþ&�ÿþ&�ÿþ &�ÿþ "€"‚*€çÿ"€"‚*‚çÿ*€%"€&€ª:4'Ÿª óL3Ÿ Ú(3) If edge uv bears a color with frequency 1, then color all uv edge bundle in Kn(») with » different color.¡–nn ""‚0""‚""‚*‚çÿ*"&ª> 0Ÿª óH2Ÿª Ÿ¨ A JL(5, 3) coloring¡X‚‚‚óP5Ÿ °Theorem 4.4 The greatest number of colors appearing in an rainbow-K3-forbidding edge coloring of Kn(») is n-ð1+(»-ð1) , and if n, »>1, the only such colorings with that number of colors are JL(n, ») colorings.¡@ÙŒ ƒÿþ."€"‚*€çÿ"€"‚*‚çÿ*€"€"‚¢€"€¢€¢‚¢€<"€"‚"€"‚"€ª,a`Ÿª óR6Ÿª Ÿ N<PF> Consider » fixed. By induction on n. When n=2, it is clear. Suppose that n>2 and Kn(») is edge-colored with no rainbow K3 s using a maximum number of colors. ¡L22|‚  "€€‚€‚€‚€ "‚  *‚ çÿ *€ "€‚ €çÿ €„ €"€ª"XKóS7Ÿª Ÿ 8Let vÎðV(Kn(»)) and K = Kn(»)-ðv By induction hypothesis, there are no more than n-ð2+(»-ð1) colors in K. Note that Kn(») can be colored with n-ð1+(»-ð1) colors. So there must be at least one edge incident to v bearing a color NOT in K. Call such colors  new colors .¡š (Ž2M2‚‚"‚*‚çÿ*€€ "‚  *€  "€  "‚  *‚ çÿ *€ ‚€‚‚‚€€‚€€"‚¢€"€¢€"‚ "€"‚*‚çÿ*€€"‚¢€"€=¢€¢‚¢€"‚"€ &„"€¢€ª> d—óV8Ÿª Ÿ¨]There cannot be two different new colors appearing in different edge bundles incident to v.¡&^[‚óW9Ÿª Ÿ¨¯Case (a) New colors appear in at least two different edge bundles. (In fact, there is only one new color in this case.) Case (b) New colors appear in only one edge bundle.¡b°„: )„+óX:Ÿª Ÿ Case (a) Notice that [n-ð1+(»-ð1) ] -ð [n-ð2+(»-ð1) ] = So in case (a), n must be odd and K must be colored with a JL(n-ð1, ») coloring. That means every vertex in K is incident to an unique edge bundle which has » different colors. ¡ H2Vb„"‚¢€"€¢€"‚¢€"€¢€"€¢€¢‚¢€"‚"€"‚"€"‚¢€)"€"‚D"€¢€ó[;Ÿª Ÿ  If the only one new color (say, red) appears in a uv edge bundle, then $ð wÎðV(K)-ð{u} s.t. every edge in the vw edge bundle is red. ¡ú† ÿþ‚‚‚‚‚"‚"€¢€¢‚¢€"€"‚"€‚€€ªP3 ó\<Ÿª Ÿ¨?Furthermore, every edge bundle incident to v is monochromatic.¡,@+‚ó]=Ÿª Ÿ ¶Kn(») ®ð Kn monochromatic edge bundle ®ð that color »-polychromatic edge bundle ®ð a new color¡®\"‚*‚çÿ*€‚€‚ ‚çÿ€ ‚€"€ €  ‚€ ª$Ró_>Ÿª Ÿ ØThen Kn is edge colored with (n-ð2)+1=n-ð1 colors, and = edges are of frequency 1. ¡„m‚ ‚çÿ‚‚‚*‚¢€ªfób?Ÿª Ÿ âCase (b) New colors appear in only one edge bundle. Let wÎðV(K) and vw be that edge bundle. Then "ð uÎðV(K)-ðw, ¡5 <„-‚‚‚‚‚‚‚‚¢€¢‚‚€‚‚‚€‚‚‚€ ¢€ ‚€ªF:óc@Ÿª Ÿ ðNote that it must be » different new colors on vw edge bundle. `$ If n is even. Let m be # of colors appearing in Kn(») Þð m £ð (# of colors appearing in K) + » £ð (n-ð2)+(»-ð1) + » = (n-ð1)+(»-ð1) Þð m = (n-ð1)+(»-ð1)¡Ì@ ‚yn–‚"€"‚"€¢€ã€¢€¢‚¢€¢‚¢€"‚*‚çÿ*€¢€ã€ã‚〢€¢‚¢€ "€ã€"€"‚¢€"€¢€ "€"‚¢€"€ ¢€ã€ã‚"€"‚¢€"€¢€ª,/B‚ójCŸª Ÿª ógBŸª Ÿ "a$ If n=3, clear. ¡`‚㢢‚ ¢€ªófAŸª Ÿ b$ If n is odd and n³ð5. Consider G= Kn(»)-ðv-ðw Claim there is at most one color on {v, w}-to-G and not in G. So that m £ð (# of colors appearing in G) +1 + » £ð (n-ð3)+(»-ð1) + (»-ð1)+2 = (n-ð1)+(»-ð1) Þð m = (n-ð1)+(»-ð1) ¡->(0Wn–㢢‚ ¢¢‚ ¢¢‚¢"‚*‚çÿ*‚€‚‚‚€‚‚‚€$€¢¢€¢‚¢€¢‚¢€¢‚ ¢€¢‚¢€¦€ç‚瀦€¦‚¦€&€ç€&€&‚¦€&€¦€&€¦€&€&‚¦€&€¦€ç€ç‚&€&‚¦€&€¦€ª"! äótGŸ¨=Claim there is at most one color on {v, w}-to-G and not in G.¡¢>$€¢¢¢‚¢¢‚¢¢‚ ¢¢‚¢Ÿ Recall "ð uÎðV(G), uv and uw are the same color. If green is the color appears on uv and uw for some uÎðV(G) and not in G, then for any xÎðV(G),¡ê0(_ ¦¦‚†€†‚†€†‚†€†‚†€¢€¦€™þ¢€¢‚¢€¢‚ ¢€¢‚¢€¢‚ ¢€¢‚¢€¢‚¢€¢‚¢€ € ª† 8 ósFŸª Ÿ ¶Kn(») ®ð Kn monochromatic edge bundle ®ð that color »-polychromatic edge bundle ®ð a new color¡¸\"‚*‚çÿ*€‚€‚ ‚çÿ€ ‚€"€ €  ‚€  € ª$RóuHŸª Ÿª óvIŸ¨#Cyclic triple and Transitive triple¡$$�Ÿª ó„RŸ¨UHow many colors can be used to color the arcs of Dn with no rainbow directed triples?¡<V‚1‚ ‚çÿ#ª1#Ÿ .Consider the rainbow-K3-forbidding edge coloring of Kn(») with »=2. So the answer is n-ð1+ , and the only such coloring is a JL(n, 2) coloring.¡˜ "€"‚*€çÿ"€"‚*‚çÿ*€ "€¢€"‚.¢€¢‚¢€¢‚¢€"€ª,4MóxJŸ Theorem 5.1 The greatest # of colors in a coloring of the arcs of Dn s.t. there are no rainbow transitive triples is n-ð1 + .¡p…x ƒÿþ6‚ ‚çÿ‚0‚‚ª8B<  Ÿ t<PF> (Similar to Theorem 4.4) By induction on n. When n=1, 2, it is clear. Suppose that n³ð3 and Dn is arc-colored with no rainbow transitive triples using a maximum number m of colors.¡,1np‚  ‚‚‚!‚‚"‚*‚çÿ<€„†‚ €ª`Yó{KŸª Ÿ dNotice that m ³ð n-ð1 + , we want to show that m £ð n-ð1 + . Let vÎðV(Dn) and D=Dn-ðv. A color on an arc with either end at v but not appear in D will be called a  new color . If a new color appears on (u, v) or (v, u), then no other new color appears on (w, v) or (v, w) for any wÎðV(D). ¡KZ2s ""‚"¢‚%‚€‚‚‚€‚‚€¢€"€ €  ‚  ‚€  ‚‚  Š‚ çÿ ‚€  ‚‚  ‚€  ‚‚  Š‚ çÿ ‚€  ‚‚ ( ‚€  ‚‚  ‚€  ‚‚ ; ‚€  ‚‚  ‚€  ‚‚  ‚€  ‚‚  ‚€  ‚‚ ( ‚€  ‚‚  ‚€  ‚‚  ‚€  ‚‚  ‚€  ‚‚  ‚€  ‚‚  ‚€  ‚‚  ‚€ ª>PÈó�QŸª Ÿ �`$ There is no new color. By induction hypothesis, m £ð n-ð2+ +0 £ð n-ð1 + . a$ There is only one new color. By induction hypothesis, m £ð n-ð2+ +1 £ð n-ð1 + . ¡XÉ&""‚"¢¢‚¢‚€‚‚€¢€&€"€"‚"€¢€¢‚¢€ ‚€  ‚  ‚€ ¢€"€ªÆó�SŸª Ÿ Vb$ There are two new colors on (u, v) and (v, u). By induction hypothesis, m £ð n-ð2+ +2 = n-ð1 + for n is even. So suppose n is odd. Let D¢ð=D-ðu. Claim there is at most one color appear in {u, v}-to-D¢ð but not in D¢ð. So that m £ð n-ð3+ +2+1= n-ð1 + .¡ì‹(!(I5x&&‚&&‚&&‚&&‚&""‚"¢¢‚¢‚€‚‚€‚‚ ‚€¢€ €  ‚  €  ‚  ‚€  €  ‚  ‚€  ‚‚ . ‚€  ‚‚  ‚€  ‚‚  ‚€  ‚  ‚€  ‚  ‚€ "‚"€¢€¢‚¢€‚€‚‚€ª"¦�ó“UŸª Ÿ ’Claim there is at most one color appear in {u, v}-to-D¢ð but not in D¢ð. ¡|J-‚‚‚‚‚‚‚‚ ‚‚‚ó|LŸ TTheorem 5.2 D is a digraph obtained by orienting the edges of Kn(») so that for any pair of distinct vertices there is at least one arc between them in each direction. Then the greatest # of colors in a coloring of the arcs of D s.t. there are no rainbow transitive triples is n-ð1+(»-ð1) .¡ê+x ƒÿþ‚1"‚*‚çÿ*€e‚€<€‚0€ "‚  ¢€  "€  ¢€  €‚€ª8>¤A  Ÿª ó~NŸ fTheorem 5.3 Suppose nÎðN and n=4q+r where q, rÎðZ and 0£ðr<4. Let g(n)= Then the arcs of Dn can be colored with g(n) colors appearing so that there are no rainbow cyclic triples.¡¢´n ƒÿþ‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚ ‚‚‚‚‚‚‚‚‚Š‚çÿ‚‚‚‚‚‚@‚ªn?  Ÿª óOŸª Ÿ ¦<PF> `$ For n=3, a$ For n=4, Þð g(3)=4 Þð g(4)=6 ¡”T‚c€"‚"€"‚"€/¢€"€ó€PŸª Ÿ Db$ For n³ð5. Partition V(Dn) into q 4-sets F1, F2, & , Fq and one r-set R. (R @ð D1, D2, D3) Use 6 different colors on each Fi, and 0, 2, or 4 different colors on R @ð D1, D2, or D3. If r=0, then use a JL(q) coloring on Fi-to-Fj. If r>0, then use a JL(q+1) coloring on Fi-to-Fj, and Fi-to-R.¡ #""‚¢¢‚ª‚çÿ¢¢‚¢¢‚ªçÿ¢¢‚ªçÿ¢¢‚ªçÿ ¢¢‚¢¢‚¢¢‚¢¢‚ªçÿ¢¢‚ªçÿ¢¢‚ªçÿ"¢¢‚ª‚çÿ&¢¢‚¢¢‚ªçÿ¢¢‚ªçÿ¢¢‚ªçÿ¢€‚€‚€‚ ‚çÿ€‚ ‚çÿ€‚€‚€‚ ‚çÿ€‚ ‚çÿ€‚ ‚çÿ€‚€ªŽDM)óŸ The End& & .¡ �Ÿª /ðó‚êø¢ ï  0`ð ÿÿÿzwÀÀÀ3™ë÷ÿ3fÿÜYyy¥`ð ÿÿÝ_¾ÀÀÀ,X„é÷ÿø”²H€€`ð ÚêÞ]]‹ÀÀÀ¢RiÿÿÝ3™ÿ3f™ð�`ð ÌìÿffÀÀÀ3f™ÿÿÌÿffÿ¾T`ð ÿéé3ÌÀÀÀÕåÛ3fÿÿ™€€`ð ôéà3f™ÀÀÀÜYäää3™ÿÌf€€`ð ååÿÌ3ÀÀÀVV€æäìfÌ€€{{§`ð ÿâÅ™ÀÀÀ}zêêê²n´Ì3ˆä£>ÿý?" dÿd@ÿÿï€ÿÿ,£’ÿý?vKdØ@ÿÿï€ÿÿ à™UÔ  vÐ@à™Zð`àvU€ £nÿý?" dÿd@ÿÿï€ÿÿ   @@``€€P£R    @ ` €`£ p£>€£> jðb0ðŒðÖð( ð ðŒðØ ðŒ “ ð6€,؇�ƒ¿Àÿ "ñ¿ð€¾ÂPðà ˜ ðLŸ  cN NåNè}/�ÍkGrjL˜#j_¢ ª ð ðŒ ƒ ð0€ðǘ�ƒ¿Àÿ "ñ¿ð°¾Âðà ˜ ð|Ÿ 0 cN NåNè}/�ÍkGr ,{ŒNd\ ,{ Nd\ ,{ÛVd\ ,{”Nd\¢ ª ðà ðŒ ƒ ð0€0Θ�ƒ¿Àÿ "ñ¿ð^¾`Šðà ˜ ðZŸ *¡€øªðâ ðŒ ƒ ð0€ Ô˜�ƒ¿Àÿ "ñ¿ð^°ÐŠðà  ˜ ð\Ÿ *¡€úªðâ ðŒ ƒ ð0€äÚ˜�ƒ¿Àÿ "ñ¿ð^ Šðà ˜ ð\Ÿ *¡€Øªðl ðŒ ³ ðF€ƒ†A‡Áˆ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?1"ñ¿`ð ÿÿÿzwÀÀÀ3™ë÷ÿ3fÿÜYyy¥ˆ8Š0º___PPT10‹ë.'ü¿ÓŒá ºtdesigncîÎï € 0 >ð6@ð�ð¨ð( ð ð�ðØ ð� “ ð6€¤qe‡�ƒ¿Àÿ "ñ¿ð °Ðpðà Ê ðLŸ  cN NåNè}/�ÍkGrjL˜#j_¢ ª ðÔ ð� ƒ ð0€ü�Ê�ƒ¿Àÿ "ñ¿ð� ` à ðà f ðNŸ  cN NåNè}/�ÍkGroRjL˜#j_¢ª ðà ð� ƒ ð0€”Ê�ƒ¿Àÿ "ñ¿ð^¾`Šðà Ê ðZŸ *¡€øªðâ ð� ƒ ð0€›Ê�ƒ¿Àÿ "ñ¿ð^°ÐŠðà  Ê ð\Ÿ *¡€úªðâ ð� ƒ ð0€è’Ê�ƒ¿Àÿ "ñ¿ð^ Šðà Ê ð\Ÿ *¡€Øªðn ð� ³ ðH€ƒ†A‡Áˆ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?1+"ñ¿`ð ÿÿÿzwÀÀÀ3™ë÷ÿ3fÿÜYyy¥ˆ8Š0º___PPT10‹ë.'ü¿ÓŒáðñ€ 0 €ðx`ð˜ðð( ð ð˜ðÒ ð˜ ƒ ð0€¤÷- �ƒ¿Àÿ ð‡ Ôðà  2  ðZŸ *¡ ùªðÔ ð˜ ƒ ð0€ý- �ƒ¿Àÿ ðÁ HÔðà 2  ð\Ÿ *¡ øªðd ð˜ c ð$‡¿ÿ ?ð>Mvðà - ðô 𘠃 ð0€<<Ê�ƒ¿Àÿ ðßmÜUðà -  ð|Ÿ 0 cN NåNè}/�ÍkGr ,{ŒNd\ ,{ Nd\ ,{ÛVd\ ,{”Nd\¢ ª ðØ ð˜ “ ð6€42 ‡�ƒ¿Àÿ 𾇠’ðà  -  ðZŸ *¡ úªðÚ ð˜ “ ð6€¸2 ‡�ƒ¿Àÿ ð¾Á H’ðà 2  ð\Ÿ *¡ تðH 𘠃 ð0�ƒ“~±–”aàf¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€»àã33™™™™Ìˆ8Š0º___PPT10‹ë.�!ÉàJÒêÉ€ ð`ðXð ð( ð ðXðÐ ðX ƒ ð0€Ô.2 �ƒ¿Àÿ ð‡ Ôðà  2  ðXŸ *¡ ùªðÒ ðX ƒ ð0€à02 �ƒ¿Àÿ ðÁ HÔðà 2  ðZŸ *¡ øªðÖ ðX “ ð6€È72 ‡�ƒ¿Àÿ 𾇠’ðà  2  ðXŸ *¡ úªðØ ðX “ ð6€=2 ‡�ƒ¿Àÿ ð¾Á H’ðà 2  ðZŸ *¡ تðH ðX ƒ ð0�ƒ“~±–”aàf¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€»àã33™™™™Ìˆ8Š0º___PPT10‹ë.{'É€K&sî½ï€ 0 ÔðÌ ððdð( ð ððx ð c ð$€|©Ê¿ÿ�ðz )ðà Ê ð žðx ð c ð$€´ªÊ¿ÿ�ðøt]Î ðà Ê ð žð,¢ ð £ ð<€œ­Ê¿¿ËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?NðNè à ðˆŸ Speaker: ôˆå‚‡[ ¡8(2 ��ª ðH ð ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€»àã33™™™™Ìˆ‘Љº___PPT10‹ië.Š!É0!`+Dñ='ñ Êÿÿÿÿ=ñ @Bñ +î3ï € 0 JðBpðÜðÚð( ð ðÜð¢ ðÜ Ó ðN€å ¿�ƒ¿ËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?Nðò&—j 𞈖Š8º___PPT10‹±ŠNº___PPT9‹0¬( ðFŸ ¨1. Introduction 2. Characterization of JL(n) Colorings 3. Equalized Edge-colorings of Kn Forbidding Rainbow Cycles 4. Edge-colorings of Kn(») 5. Forbidding Rainbow Directed Triples in Dn¡Õ0n2.‚‚.‚‚çÿ=‚‚çÿn€€-€‚‚çÿªf..=/ðH ðÜ ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿzwÀÀÀ3™ë÷ÿ3fÿÜYyy¥ˆ‘Љº___PPT10‹ië.H"Éà ¾M+Dñ='ñ å ÿÿÿÿ=ñ @Bñ +îï € 0 ð�ðäðªð( ð ðäðr ðä S ð€,å ¿ÿŒð}¾ÂM ðà  å  ð žðH ðä ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿzwÀÀÀ3™ë÷ÿ3fÿÜYyy¥ˆ‘Љº___PPT10‹ië.J"Éà(t+Dñ='ñ å ÿÿÿÿ=ñ @Bñ +îÆ=ï € 0 ¾ð¶`ðX0ñ ð:ð( ð ðXðx ðX c ð$€ÜúÊ¿ÿŒð€¾Âšðà  Ê ð žð¤ ðX c ð$€ÈûÊ¿ÿŒðõžið<$ñ 0à Ê ð žð/ðl ð�½ ÿ ðXðø&¤W ð,$ñD  0ð¶B ðX Ó ðN¿D¿ËÔ”Îÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nð�½ +ðõ¢ ðX à ðH€ÜJd¿¿ÀËŸoÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?Nðwt ÿÎ  ð=Ÿ¨chord¡(2þð*¢ ðX Ó ðN€˜¿�ƒ¿À™ËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?Nð“ &¥ð,$ñ  0 ð@Ÿ ®ð¬ð¡ (2†�#þðm ðl ðËP‡Þ  ðXðPË‡Þ ð,$ñD  0ð`B ð X‚ ƒ ð0D¿ÀÿËŸoÿˆðOå¤ð¶B ðX Ó ðN¿D¿ÀËŸoÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nð¤ô\dð¶B ðX Ó ðN¿D¿ÀËŸoÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?NðŸzed ð¶B ðX Ó ðN¿D¿À3Ì3ËŸoÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nðì¯ y¹ ð¶B ðXB Ó ðN¿D¿ÀÿÿËŸoÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nðì.¯ ð¶B ðX‚ Ó ðN¿D¿ÀÌÿËŸoÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nð›n ع ð¶B ðX‚ Ó ðN¿D¿ÀËŸoÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?NðØ> en ðÿ¢ ðX ã ðT€ å ¿�ƒ¿À™ËŸoÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?Nð³PÞª ð;Ÿ¨C¡(2ƒþð²2 ð X £ ð<€�$å …‡�ƒ¿ÿˆðƒÀÅ  ð>Ÿ¡þª ð²2 ð X £ ð<€(å …‡�ƒ¿ÿˆð\UŸŸ ð>Ÿ¡þª ð²2 ð X £ ð<€À,å …‡�ƒ¿ÿˆðD ‡d  ð>Ÿ¡þª ð²2 ð X £ ð<€0å …‡�ƒ¿ÿˆð¶I ù”  ð>Ÿ¡þª ð²2 ðX £ ð<€43å …‡�ƒ¿ÿˆðY“ ›Þ  ð>Ÿ¡þª ð²2 ðX £ ð<€¤6å …‡�ƒ¿ÿˆðˉ Ô  ð>Ÿ¡þª ð²2 ðX £ ð<€d;å …‡�ƒ¿ÿˆð êO5 ð>Ÿ¡þª ðH ðX ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿÀÀÀ9¬ÿÿ™ÿÌffÿÌ3ˆ°,Ѝ,º___PPT10‹ˆ,ë.Š!É€ŸÄ�+¬”ÞDñì+'ñ =å ÿÿÿÿ=ñ @Bñ Dñ§+'ñ •ÿÿÿÿ=ñ @BñAñ?%ñ,(ñ <ñ +O%ñ,(ñ <ñ +DñN'ñ =ñ%ñ(ñÿÿÿÿDñö'ñ =ñ%ñ(ñDñË'ñ =ñA@Bñ�Bñ Bñ°Bñ0Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû*X%ñ(ñDñ'ñ ô=ñ+ñá4ñ 8?ñdCñBñ0-#ppt_w/2BñCñèBñ#ppt_xBñ*ñY3ñ>ñBñ ppt_x<ñû*XDñ'ñ ô=ñ+ñÙ4ñ 8?ñ\CñBñ#ppt_yBñCñèBñ#ppt_yBñ*ñY3ñ>ñBñ ppt_y<ñû*XDñË'ñ =ñA@Bñ�Bñ Bñ°Bñ0Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû*X%ñ(ñDñ'ñ ô=ñ+ñá4ñ 8?ñdCñBñ0-#ppt_w/2BñCñèBñ#ppt_xBñ*ñY3ñ>ñBñ ppt_x<ñû*XDñ'ñ ô=ñ+ñÙ4ñ 8?ñ\CñBñ#ppt_yBñCñèBñ#ppt_yBñ*ñY3ñ>ñBñ ppt_y<ñû*XDñ! 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Tvð,$ñ  0 ð–Ÿ �It follows that the coloring restricted to Kn -ðv is a JL(n-ð1) coloring. ¡ÈI0x2+†‚‚çÿ†‚††‚††‚††‚†ª+ðH ðd ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿÀÀÀ9¬ÿÿ™ÿÌffÿÌ3ˆˆŠ€º___PPT10‹`ë.Š!É€j)„+‰5  Dñü'ñ I ÿÿÿÿ=ñ @Bñ Dñ·'ñ •ÿÿÿÿ=ñ @BñAñ?%ñ,(ñ <ñ +O%ñ,(ñ <ñ +Dñî'ñ =ñ%ñ(ñÿÿÿÿDñ–'ñ =ñ%ñ(ñDñ>'ñ =ñA@Bñ�Bñ Bñ°Bñ0Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû*dÿÿÿÿÿÿÿÿ%ñ(ñDñ¥'ñ ô=ñ-ñm6ñBñbox(in)*ñ<3ñ<ñû*dÿÿÿÿÿÿÿÿ+8+0+d0 +îî(ï € 0 (ðý'pð05œ0ñ ð�'ð( ð ðœð®B ðœ Ó ðN¿D¿ÀÿËŸoÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nðm ímð®B ð œ Ó ðN¿D¿ÀËŸoÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nðè íèð®B ð œ Ó ðN¿D¿ÀËŸoÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nðm  »ð®B ð œ Ó ðN¿D¿ÀÿËŸoÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nðšèð®B ð œ Ó ðN¿D¿À™ËŸoÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nðm èð®B 𠜀 Ó ðN¿D¿ÀËŸoÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nðm èðú¢ ðœ à ðH€8”å ¿¿ÀËŸoÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?NðådgÌ ðJŸ¨V1¡,(2ƒþ �þçÿðú¢ ðœ à ðH€\™å ¿¿ÀËŸoÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?Nð�‚t ðJŸ¨V2¡,(2ƒþ �þçÿðú¢ ðœ à ðH€è�å ¿¿ÀËŸoÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?Nð�Ó˜t ðJŸ¨V3¡,(2ƒþ �þçÿðú¢ ðœ à ðH€(¢å ¿¿ÀËŸoÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?Nðåeh Ì ðJŸ¨V4¡,(2ƒþ �þçÿð¸2 𜠣 ð<€”¦å …‡�ƒ¿ÿˆ"ñ¿ ðÕžù0 ð>Ÿ¡þª ð´B ðœ ã ðT¿D¿ÀÿËŸoÎÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?NðÌð®B ðœ Ó ðN¿D¿ÀËŸoÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nð}Ì}ð´B ðœ ã ðT¿D¿ÀËŸoÎÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?NðÌÌPð®B ðœ Ó ðN¿D¿ÀÿËŸoÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nð/GG}ð´B ðœ ã ðT¿D¿À™ËŸoÎÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?NðÌG}ð®B ðœ€ Ó ðN¿D¿ÀËŸoÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?NðÌG}ðú¢ ðœ à ðH€È«å ¿¿ÀËŸoÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?Nðz� “a ðJŸ¨V1¡,(2ƒþ �þçÿðú¢ ðœ à ðH€Ä°å ¿¿ÀËŸoÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?Nð"« ®  ðJŸ¨V2¡,(2ƒþ �þçÿðú¢ ðœ à ðH€”µå ¿¿ÀËŸoÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?NðP‘”7 ðJŸ¨V3¡,(2ƒþ �þçÿðú¢ ðœ à ðH€ ºå ¿¿ÀËŸoÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?Nðz‘”a ðJŸ¨V4¡,(2ƒþ �þçÿðè¢ ð"œ ³ ðB€Œ¾å ¿¿ÀËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?Nð¯m i ð>Ÿ¡(2ª ð0¢ ð#œ ³ ðB€„Áå ¿¿ÀËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?NðS '] Í  ð†Ÿ¨$K4 is colored with a JL(4) coloring.¡F%(2‚ çÿ‚ðF¢ ð$œ ³ ðB€Éå ¿¿ÀËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?NðØ3 ¾2 𜟠K4-ðv1 (green)¡d(2‚ çÿ‚‚‚Šçÿ ‚ðª2 ð(œ £ ð<€˜Òå …‡�ƒ¿ÿˆð± ¹  ð>Ÿ¡þª ð®B ð*œ Ó ðN¿D¿ÀÿËŸoÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nðc ç4c ð´B ð+œ ã ðT¿D¿ÀËŸoÎÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?NðÞ ç4Þ ð´B ð,œ ã ðT¿D¿ÀËŸoÎÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nðc çç± ð®B ð-œ Ó ðN¿D¿ÀÿËŸoÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nð� bbÞ ð®B ð.œ Ó ðN¿D¿À™ËŸoÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nðc çbÞ ð´B ð/œ€ ã ðT¿D¿ÀËŸoÎÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nðc çbÞ ðú¢ ð0œ à ðH€œ×å ¿¿ÀËŸoÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?NðÛ« ®  ðJŸ¨V1¡,(2ƒþ �þçÿðú¢ ð1œ à ðH€ÀÜå ¿¿ÀËŸoÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?Nðƒ Æ Éj  ðJŸ¨V2¡,(2ƒþ �þçÿðú¢ ð2œ à ðH€Láå ¿¿ÀËŸoÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?Nð± ¬¯˜  ðJŸ¨V3¡,(2ƒþ �þçÿðú¢ ð3œ à ðH€Œåå ¿¿ÀËŸoÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?NðÛ¬¯  ðJŸ¨V4¡,(2ƒþ �þçÿðR¢ ð4œ ³ ðB€ êå ¿¿ÀËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?Nð9 ` v“  𨟠K4-ðv2 (blue) ¡p(2‚ çÿ‚‚‚Šçÿ‚‚ðý¢ ð5œ ³ ðB€ òå ¿¿ÀËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?Nð´�ÿÅ ðSŸ¨ ¡. 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ô=ñ-ñƒ6ñBñ'blinds(horizontal)*ñ<3ñ<ñû* ÿÿÿÿÿÿÿÿDñT'ñ =ñA@Bñ�Bñ Bñ °Bñ0Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû*  ÿÿÿÿÿÿÿÿ%ñ(ñDñ»'ñ ô=ñ-ñƒ6ñBñ'blinds(horizontal)*ñ<3ñ<ñû*  ÿÿÿÿÿÿÿÿDñ4'ñ =ñ%ñ(ñÿÿÿÿDñÜ'ñ =ñ%ñ(ñDñ„'ñ =ñ4@Bñ�Bñ Bñ°Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû*  ÿÿÿÿÿÿÿÿ%ñ(ñDñk'ñ =ñ%ñ(ñÿÿÿÿDñ'ñ =ñ%ñ(ñDñ9'ñ =ñ4@Bñ�Bñ Bñ°Bñ%ñ(ñDñ­'ñ ô=ñ/ñu8ñ´C´C*ñQ3ñ>ñ Bñr<ñû* ÿÿÿÿÿÿÿÿDñ9'ñ =ñ4@Bñ�Bñ Bñ°Bñ%ñ(ñDñ­'ñ ô=ñ/ñu8ñ´C´C*ñQ3ñ>ñ Bñr<ñû*  ÿÿÿÿÿÿÿÿDñ9'ñ =ñ4@Bñ�Bñ Bñ°Bñ%ñ(ñDñ­'ñ ô=ñ/ñu8ñ´C´C*ñQ3ñ>ñ Bñr<ñû* ÿÿÿÿÿÿÿÿ+ˆ+0+  0 ++0+  0 ++0+  0 ++0+ 0 ++0+ 0 ++0+ 0 ++0+ 0 +îêï € 0 Àð¸�ð¤ðPð( ð ð¤ðr ð¤ S ð€(ùù ¿ÿŒðwù€ ðà  ù  ð žðž ð¤ S ð€(úù ¿ÿŒðª ¤Ñð<$ñ 0à ù  ð žðH 𤠃 ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿzwÀÀÀ3™ë÷ÿ3fÿÜYyy¥ˆÒ ŠÊ º___PPT10‹ª ë.—!ÉÐ"Y++ÕÙº3DñF 'ñ I ÿÿÿÿ=ñ @Bñ Dñ 'ñ •ÿÿÿÿ=ñ @BñAñ?%ñ,(ñ <ñ +O%ñ,(ñ <ñ +Dñ8 'ñ =ñ%ñ(ñÿÿÿÿDñà 'ñ =ñ%ñ(ñDñH'ñ =ñA@Bñ�Bñ Bñ °Bñ0Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû*¤%ñ(ñDñ¯'ñ ô=ñ-ñw6ñBñdiamond(out)*ñ<3ñ<ñû*¤DñH'ñ 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¿�ƒ¿À™ËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?NðË̤% ð,$ñ  0 ðZŸ \(3) Color all R-to-S edges in Kn with  green .¡À/ 2††‚††‚ ††‚Ž‚çÿ††™þ†ªðТ ð¬ Ó ðN€[Õ ¿�ƒ¿À™ËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?NðS Ì%í ð,$ñ  0 ðæŸ @(4) Color <R> with a JL(r) coloring and <S> with a JL(s) coloring with disjoint sets of colors, and with  green not appearing in <R>, nor in <S>.¡V¡ 2 ††‚ ††‚††‚††‚††‚††‚:††™þ††‚ ††‚†ª,!cðH 𬠃 ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿzwÀÀÀ3™ë÷ÿ3fÿÜYyy¥ˆZŠRº___PPT10‹2ë.˜!Ép.ÃÈ+”pyüDñî'ñ I ÿÿÿÿ=ñ @Bñ Dñ©'ñ •ÿÿÿÿ=ñ @BñAñ?%ñ,(ñ <ñ +O%ñ,(ñ <ñ +Dñî'ñ =ñ%ñ(ñÿÿÿÿDñ–'ñ =ñ%ñ(ñDñ>'ñ =ñA@Bñ�Bñ Bñ°Bñ0Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû*¬ÿÿÿÿÿÿÿÿ%ñ(ñDñ¥'ñ ô=ñ-ñm6ñBñbox(in)*ñ<3ñ<ñû*¬ÿÿÿÿÿÿÿÿDñî'ñ =ñ%ñ(ñÿÿÿÿDñ–'ñ =ñ%ñ(ñDñ>'ñ =ñA@Bñ�Bñ Bñ°Bñ0Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû*¬ÿÿÿÿÿÿÿÿ%ñ(ñDñ¥'ñ ô=ñ-ñm6ñBñbox(in)*ñ<3ñ<ñû*¬ÿÿÿÿÿÿÿÿDñî'ñ =ñ%ñ(ñÿÿÿÿDñ–'ñ =ñ%ñ(ñDñ>'ñ =ñA@Bñ�Bñ Bñ°Bñ0Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû*¬ÿÿÿÿÿÿÿÿ%ñ(ñDñ¥'ñ ô=ñ-ñm6ñBñbox(in)*ñ<3ñ<ñû*¬ÿÿÿÿÿÿÿÿDñî'ñ 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Then all v-to-R0 edges are red, too. Now let R={v}, S=R0*"S0. 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So tn is also the number of full binary trees with n leafs, if n>2. ¡ü‰‚ ‚‚‚Š‚çÿ‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚Š‚çÿ‚‚-‚‚‚ ‚‚‚‚ª> (@ðH ðø ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿzwÀÀÀ3™ë÷ÿ3fÿÜYyy¥ˆ Š º___PPT10‹äë.Q"É€¦3+¡„ ‘Dñ€'ñ  �|ÿÿÿÿ=ñ @Bñ Dñ;'ñ •ÿÿÿÿ=ñ @BñAñ?%ñ,(ñ <ñ +O%ñ,(ñ <ñ +Dñr'ñ =ñ%ñ(ñÿÿÿÿDñ'ñ =ñ%ñ(ñDñÂ'ñ =ñA@Bñ�Bñ: Bñ°Bñ0Bñ%ñ(ñ)ñ€?Dñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû* øÿÿÿÿÿÿÿÿ%ñ(ñDñ'ñ ô=ñ+ñá4ñ 8?ñdCñBñ#ppt_w*2.5BñCñèBñ#ppt_wBñ*ñY3ñ>ñBñ ppt_w<ñû* øÿÿÿÿÿÿÿÿDñ'ñ ô=ñ+ñã4ñ 8?ñfCñBñ#ppt_h*0.01BñCñèBñ#ppt_hBñ*ñY3ñ>ñBñ ppt_h<ñû* øÿÿÿÿÿÿÿÿDñ'ñ ô=ñ+ñÙ4ñ 8?ñ\CñBñ#ppt_xBñCñèBñ#ppt_xBñ*ñY3ñ>ñBñ ppt_x<ñû* øÿÿÿÿÿÿÿÿDñ'ñ ô=ñ+ñÝ4ñ 8?ñ`CñBñ#ppt_h+1BñCñèBñ#ppt_yBñ*ñY3ñ>ñBñ ppt_y<ñû* øÿÿÿÿÿÿÿÿDñŸ'ñ ô=ñ-ñg6ñBñ fade*ñ<3ñ<ñû* øÿÿÿÿÿÿÿÿ+8+0+ ø0 +î%ï € 0 <ð4ððüðÌð( ð ðüðx ðü c ð$€4| ¿ÿŒð$¾È vðà   ð žð¦² ðü0 ó ðZA  ?�ÿÿÿƒÿÿÿ¿Àÿ €€€?Œðƒj éCðÁ à  ðf² ðü s ð*A ?¿ÿ ?ðøÐ wm ð Á ðH ðü ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿzwÀÀÀ3™ë÷ÿ3fÿÜYyy¥ˆ‘Љº___PPT10‹ië.»&É�ºy+Dñ='ñ I ÿÿÿÿ=ñ @Bñ +îûCï € 0 -3ð%3ð5oPñð¡2ð( ð ððr ð S ð€D‚ ¿ÿŒðÌÐa ðà   ð žðð8 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(in non-increasing order) ¡Ö\$™þÿÿþÿþÌÿþ€€þ ð}ðl ð'ض  ð ð³”#é ð,$ñD 0ðù¢ ð  Ó ðN€D' ¿�ƒ¿À™ËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?Nð -  ð;Ÿ¨1¡(2�Ìÿþðù¢ ð  Ó ðN€ü+ ¿�ƒ¿À™ËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?N𲎠ˆ  ð;Ÿ¨2¡(2�ðù¢ ð  Ó ðN€�* ¿�ƒ¿À™ËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?Nð'’  ð;Ÿ¨3¡(2�ðú¢ ð  Ó ðN€X2 ¿�ƒ¿À™ËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?NðÿØjÒ ð<Ÿ¨20¡(2�™þðù¢ ð  Ó ðN€h6 ¿�ƒ¿À™ËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?Nð ~   ð;Ÿ¨4¡(2�ÿÿþðù¢ ð  Ó ðN€ : ¿�ƒ¿À™ËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?Nð~ € é z  ð;Ÿ¨4¡(2�ÿþðù¢ ð  Ó ðN€°= ¿�ƒ¿À™ËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?Nð‹  ö û  ð;Ÿ¨1¡(2�ðù¢ ð  Ó ðN€TA ¿�ƒ¿À™ËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?NðK ¶ý  ð;Ÿ¨1¡(2�€€þð=¢ ð  Ó ðN€øD ¿�ƒ¿À™ËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?Nð@Žÿâšð,$ñ 0 ðSŸ¨ ¡. (2‚ðH ð  ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿzwÀÀÀ3™ë÷ÿ3fÿÜYyy¥ˆ[ ŠS º___PPT10‹3 ë.Ã&ÉxHÁ+á$Û\Dñ— 'ñ I ÿÿÿÿ=ñ @Bñ DñR 'ñ •ÿÿÿÿ=ñ @BñAñ?%ñ,(ñ <ñ +O%ñ,(ñ <ñ +Dñ['ñ =ñ%ñ(ñÿÿÿÿDñ'ñ =ñ%ñ(ñDñX'ñ =ñA@Bñ�Bñ Bñ °Bñ0Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû* ÿÿÿÿÿÿÿÿ%ñ(ñDñ¿'ñ ô=ñ-ñ‡6ñBñ+checkerboard(across)*ñ<3ñ<ñû* ÿÿÿÿÿÿÿÿDñK'ñ =ñ4@Bñ�Bñ Bñ °Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû* ÿÿÿÿÿÿÿÿ%ñ(ñDñ¿'ñ ô=ñ-ñ‡6ñBñ+checkerboard(across)*ñ<3ñ<ñû* ÿÿÿÿÿÿÿÿDñ4'ñ =ñ%ñ(ñÿÿÿÿDñÜ'ñ =ñ%ñ(ñDñ„'ñ =ñ4@Bñ�Bñ Bñ°Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû* ÿÿÿÿÿÿÿÿ%ñ(ñDñê'ñ =ñ%ñ(ñÿÿÿÿDñ’'ñ =ñ%ñ(ñDñ:'ñ =ñA@Bñ�Bñ Bñ°Bñ0Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû* ÿÿÿÿÿÿÿÿ%ñ(ñDñ¡'ñ è=ñ-ñi6ñBñ wedge*ñ<3ñ<ñû* ÿÿÿÿÿÿÿÿ+p+0+ 0 ++0+ 0 +îï € 0 .ð&@ðð¾ð( ð ðð† ð c ð$€¤] ¿ÿŒˆðmÛÿÄ� ðà   ðž¦ðH ð ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿzwÀÀÀ3™ë÷ÿ3fÿÜYyy¥ˆ‘Љº___PPT10‹ië.J"Éà(t+Dñ='ñ I ÿÿÿÿ=ñ @Bñ +îï € 0 0ð(PððÀð( ð ðð­ ð “ ð6€Ôe ‡�ƒ¿Àÿ ðò8< ðGŸ¨ Equalized¡"  �ðÓ ð ƒ ð0€Pj �ƒ¿Àÿ ð#FjS  ðsŸ¨AThe greatest color frequency is no more than the least plus one.¡BBðH ð ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿzwÀÀÀ3™ë÷ÿ3fÿÜYyy¥ˆ‘Љº___PPT10‹ië.Û&ÉË’[+Dñ='ñ I ÿÿÿÿ=ñ @Bñ +îï € 0  ð˜`ðð0ð( ð ððž ð S ð€�%c¿ÿŒð�ùý´ð<$ñ 0à   ð žðR ð “ ð6€ðp ‡�ƒ¿Àÿ ðZžÂC ð쟠ŠTheorem 3.1 Suppose n>1 and Kn is edge colored so that there are no rainbow K3 s. Then for at least one color, the subgraph of Kn induced by the edges of that color is connected and spanning in Kn.¡Æx ƒÿþƒ‚‚ ‚çÿ‚-‚ çÿ1‚ ‚çÿ‚?‚ ‚çÿ‚ª>UEðH ð ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿzwÀÀÀ3™ë÷ÿ3fÿÜYyy¥ˆŠº___PPT10‹æ ë.Û&É�ž®+åøÿGDñ‚ 'ñ I ÿÿÿÿ=ñ @Bñ Dñ= 'ñ •ÿÿÿÿ=ñ @BñAñ?%ñ,(ñ <ñ +O%ñ,(ñ <ñ +Dñt 'ñ =ñ%ñ(ñÿÿÿÿDñ 'ñ =ñ%ñ(ñDñT'ñ =ñA@Bñ�Bñ Bñ °Bñ0Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû*%ñ(ñDñ»'ñ ô=ñ-ñƒ6ñBñ'blinds(horizontal)*ñ<3ñ<ñû*DñT'ñ =ñA@Bñ�Bñ Bñ °Bñ0Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû*%ñ(ñDñ»'ñ ô=ñ-ñƒ6ñBñ'blinds(horizontal)*ñ<3ñ<ñû*DñT'ñ =ñA@Bñ�Bñ Bñ °Bñ0Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû*/%ñ(ñDñ»'ñ ô=ñ-ñƒ6ñBñ'blinds(horizontal)*ñ<3ñ<ñû*/DñT'ñ =ñA@Bñ�Bñ Bñ °Bñ0Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû*/`%ñ(ñDñ»'ñ ô=ñ-ñƒ6ñBñ'blinds(horizontal)*ñ<3ñ<ñû*/`DñT'ñ =ñA@Bñ�Bñ Bñ °Bñ0Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû*`n%ñ(ñDñ»'ñ ô=ñ-ñƒ6ñBñ'blinds(horizontal)*ñ<3ñ<ñû*`n+8+0+0 +î™&ï € 0 ;ð3pððËð( ð ðð®2 ð Ó ðN…‡¿�3Ì3ƒ¿ËÔ”ÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?Nð2îí ðâ2 ð Ó ðN…‡¿�3Ì3ƒ¿ËjJÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?Nð2ïí ð,$ñD 0ðr ð S ð€€Œ ¿ÿŒð‡ž:õðà   ð žð@¢ ð Ó ðN€h’ ¿�ƒ¿À™ËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?Nðúžž´ð,$ñ@  0 ðVŸ ðIf any edge incident to v is green, then we have done. So suppose that green does NOT appear on a v-to-(Kn-ðv) edge. ¡8þ vKþ0vK?þ vK(2‚‚‚‚†™þ'‚†™þ‚‚‚‚‚‚Š‚çÿ‚‚‚ ‚ª$e  ð¨B ð€ à ðH¿D¿ËŸoÎÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?NðAB( ðñ¢ ð ³ ðB€4¡ ¿¿À™ËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?Nð 2 žb  ðGŸ¨v¡* 2‚þþð¨B ð € à ðH¿D¿ËŸoÎÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nðm B‚õ ð¨B ð  à ðH¿D¿ËŸoÎÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nðõ B°3 ð¨B ð  à ðH¿D¿ËŸoÎÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nðõ B(Ë ð8¢ ð ³ ðB€œ¦ ¿¿À™ËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?Nð“ Yí ðŽŸ Kn-ðv¡P 2‚þ‚þçÿ†‚þ†þªðÜB ð€ à ðH¿D¿À™ËÔ”ÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?NðBC) ð,$ñD 0ð¤2 ð “ ð6€Ì® …‡�ƒ¿ÿðÚ o5  ð>Ÿ¡þª ð¤2 ð “ ð6€Ø² …‡�ƒ¿ÿðúUo ð>Ÿ¡þª ð¤2 ð “ ð6€0° …‡�ƒ¿ÿð@ U°›  ð>Ÿ¡þª ð¤2 ð “ ð6€´¹ …‡�ƒ¿ÿð mÈi  ð>Ÿ¡þª ð¤2 ð “ ð6€,¾ …‡�ƒ¿ÿð¯ úU  ð>Ÿ¡þª ðH ð ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿzwÀÀÀ3™ë÷ÿ3fÿÜYyy¥ˆŠþº___PPT10‹Þë.å&ÉP‹D@+‘ÜŽ�Dñ²'ñ I ÿÿÿÿ=ñ @Bñ Dñm'ñ •ÿÿÿÿ=ñ @BñAñ?%ñ,(ñ <ñ +O%ñ,(ñ <ñ +Dñ÷'ñ =ñ%ñ(ñÿÿÿÿDñŸ'ñ =ñ%ñ(ñDñG'ñ =ñ4@Bñ�Bñ Bñ °Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû*ÿÿÿÿÿÿÿÿ%ñ(ñDñ»'ñ ô=ñ-ñƒ6ñBñ'blinds(horizontal)*ñ<3ñ<ñû*ÿÿÿÿÿÿÿÿDñ:'ñ =ñ%ñ(ñÿÿÿÿDñâ'ñ =ñ%ñ(ñDñA'ñ =ñ4@Bñ�Bñ Bñ°Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû*%%ñ(ñDñµ'ñ è=ñ-ñ}6ñBñ!strips(upRight)*ñ<3ñ<ñû*%DñA'ñ =ñ4@Bñ�Bñ Bñ°Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû*%8%ñ(ñDñµ'ñ è=ñ-ñ}6ñBñ!strips(upRight)*ñ<3ñ<ñû*%8Dñ÷'ñ =ñ%ñ(ñÿÿÿÿDñŸ'ñ =ñ%ñ(ñDñG'ñ =ñ4@Bñ�Bñ Bñ °Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû*ÿÿÿÿÿÿÿÿ%ñ(ñDñ»'ñ ô=ñ-ñƒ6ñBñ'blinds(horizontal)*ñ<3ñ<ñû*ÿÿÿÿÿÿÿÿDñÙ'ñ =ñ%ñ(ñÿÿÿÿDñ�'ñ =ñ%ñ(ñDñ)'ñ =ñ4@Bñ�Bñ  Bñ°Bñ%ñ(ñDñŸ'ñ è=ñ-ñg6ñBñ fade*ñ<3ñ<ñû*ÿÿÿÿÿÿÿÿDñö'ñ =ñ1ñž:ñBñhidden*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû*ÿÿÿÿÿÿÿÿ%ñ(ñçDñƒ'ñ =ñ%ñ(ñÿÿÿÿDñ+'ñ =ñ%ñ(ñDñA'ñ =ñ4@Bñ�Bñ Bñ°Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû*9U%ñ(ñDñµ'ñ è=ñ-ñ}6ñBñ!strips(upRight)*ñ<3ñ<ñû*9UDñA'ñ =ñ4@Bñ�Bñ Bñ°Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû*Ur%ñ(ñDñµ'ñ è=ñ-ñ}6ñBñ!strips(upRight)*ñ<3ñ<ñû*UrDñA'ñ =ñ4@Bñ�Bñ Bñ°Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû*rx%ñ(ñDñµ'ñ è=ñ-ñ}6ñBñ!strips(upRight)*ñ<3ñ<ñû*rx+î0Aï € 0 SðK€ð ñð×ð( ð ð ð¨B ð € à ðH¿D¿ËŸoÎÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?NðŒ6R ðr ð  S ð€Ä· ¿ÿŒðâ¾Âðà   ð žð÷¢ ð  à ðH€ìÏ ¿¿À™ËŸoÿ?¿ÿˆƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?NðS&’­  ðGŸ¨v¡* 2‚þþð%¢ ð  ³ ðB€Õ ¿¿À™ËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?Nða ˆ» ð,$ñ 0 ðGŸ¨w¡* 2‚þþð. ð  # ð�0e‚˜²ƒ0e„˜²…‡ˆ‰¿ ô   B¼CnDEÁ4FÁ�ƒ†A¿À™ÁÂÿÿÿà ÄÅAÆÁÇÈÉÊËŸoÌÍÎÏÁÐÑÒÓÔÕ×ÿËËË 8c8c     ?€�‚ƒœ1„…ðù†‡÷ˆ ¿ÀÁÂdÃÄÅÆÇÈÉÊ0uËÐÌ0íìÿÍ@T‰Î€Ï€ÿÿÐyÿÑ2Ò NÓPÃÔÕ'Öp”×°<ÿÿØÙ'Úp”ÿA¨)BCD|¾E„|¾…†|¾‡ ðÿa=¼z¼¶¼ò kÍ�ƒ��ƒKøn @­ ­ ­ ­ ¬€Ã "ñÈŒ�0e@ÙÿÿÿÿÚÿÿÿÿÛ ÜÁÝÿÿÿÿÞÿÿÿÿß àÁáÿÿÿÿâÿÿÿÿÿ€ÿÿÿÿÿÿÿÿ Âÿÿÿÿÿÿÿÿ Âÿÿÿÿÿÿÿÿ‰ÿÿÿÿŠÿÿÿÿ‹ ŒÂ�ÿÿÿÿ��‘’¿‚‚@ABÿÿÿC DEEFÅGHIJK5%LMNOÅPQRSTUWYÿÿÿÿZÿÿÿÿ[ \Å]ÿÿÿÿ^ÿÿÿÿ_ `ÅaÿÿÿÿbÿÿÿÿN€�‚ÿÿÿƒ „…E†Å‡ˆ‰Š‹5%Œ�Ž�Å�‘’“”•—™ÿÿÿÿšÿÿÿÿ› œÅ�ÿÿÿÿžÿÿÿÿŸ  Å¡ÿÿÿÿ¢ÿÿÿÿ¿NÀÁÂÿÿÿà ÄÅEÆÅÇÈÉÊË5%ÌÍÎÏÅÐÑÒÓÔÕ×ÙÿÿÿÿÚÿÿÿÿÛ ÜÅÝÿÿÿÿÞÿÿÿÿß àÅáÿÿÿÿâÿÿÿÿÿNÿÿÿ FÆ   5%  Æÿÿÿÿÿÿÿÿ Æÿÿÿÿÿÿÿÿ Æ!ÿÿÿÿ"ÿÿÿÿ?N@ABÿÿÿC DEFFÆGHIJK5%LMNOÆPQRSTUWYÿÿÿÿZÿÿÿÿ[ \Æ]ÿÿÿÿ^ÿÿÿÿ_ `Æaÿÿÿÿbÿÿÿÿð¨Ñ ð,$ñD 0ð¨B ð € à ðH¿D¿ËŸoÎÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nð¸6v@ ð¨B ð  à ðH¿D¿ËŸoÎÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nð@ 6¤~ ð¨B ð  à ðH¿D¿ËŸoÎÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nð@ 6 ðÜB ð € à ðH¿D¿ÀÿËÔ”ÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nð¸6v@ ð,$ñD   0ðÜB ð  à ðH¿D¿ÀÿËÔ”ÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nð@ 6¤~ ð,$ñD   0ðÜB ð  à ðH¿D¿ÀÿËÔ”ÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nð@ 6 ð,$ñD  0ð¤2 ð  “ ð6€\Ý …‡�ƒ¿ÿð‹I¤æ ð>Ÿ¡þª ð%¢ ð  ³ ðB€xà ¿¿À™ËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?Nðªˆð,$ñ 0 ðGŸ¨u¡* 2‚þþð¤2 ð  “ ð6€æ …‡�ƒ¿ÿðY a¼´  ð>Ÿ¡þª ð¤2 ð  “ ð6€Äè …‡�ƒ¿ÿðú îIU  ð>Ÿ¡þª ðô¢ ð  Ó ðN€ ¿�ƒ¿À™ËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?NðP ´lð,$ñ 0 ð Ÿ For some wÎðV(Kn)-ð{u, v}, $ð a green path from u to w. Since no v-to-(Kn-ðv) edge is green. Then all edges incident to v are red.¡¶ƒþ vK ‚‚‚‚‚‚‚‚‚Š‚çÿ‚‚‚‚‚‚‚†™þ ‚‚‚‚‚‚ ‚‚‚‚‚‚Š‚çÿ‚‚‚ ‚†™þ‚‚‚‚†ÿþ‚ª, - 9ð®2 ð  Ó ðN…‡¿�ƒ¿ËjJÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?Nð} â8 ðÜB ð € à ðH¿D¿ÀÿËÔ”ÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nð�7S ð,$ñD 0ð8¢ ð  ³ ðB€°  ¿¿À™ËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?NðÞ M 8 ðŽŸ Kn-ðv¡P 2‚þ‚þçÿ†‚þ†þªð¤2 ð  “ ð6€` …‡�ƒ¿ÿð% c€  ð>Ÿ¡þª ð¤2 ð  “ ð6€8 …‡�ƒ¿ÿð_îIº ð>Ÿ¡þª ðH ð  ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿzwÀÀÀ3™ë÷ÿ3fÿÜYyy¥ˆ…$Š}$º___PPT10‹]$ë.æ&ÉÐz¢­+>‡•Dñ‰#'ñ I ÿÿÿÿ=ñ @Bñ DñD#'ñ •ÿÿÿÿ=ñ @BñAñ?%ñ,(ñ <ñ +O%ñ,(ñ <ñ +DñA'ñ =ñ%ñ(ñÿÿÿÿDñé'ñ =ñ%ñ(ñDñ‘'ñ =ñA@Bñ�Bñ Bñ°Bñ0Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû* ÿÿÿÿÿÿÿÿ%ñ(ñDñ÷'ñ =ñ%ñ(ñÿÿÿÿDñŸ'ñ =ñ%ñ(ñDñG'ñ =ñ4@Bñ�Bñ Bñ °Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû* ÿÿÿÿÿÿÿÿ%ñ(ñDñ»'ñ ô=ñ-ñƒ6ñBñ'blinds(horizontal)*ñ<3ñ<ñû* ÿÿÿÿÿÿÿÿDñD'ñ =ñ%ñ(ñÿÿÿÿDñì'ñ =ñ%ñ(ñDñF'ñ =ñA@Bñ�Bñ Bñ°Bñ0Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû* %ñ(ñDñ­'ñ è=ñ-ñu6ñBñdiamond(in)*ñ<3ñ<ñû* DñF'ñ =ñA@Bñ�Bñ Bñ°Bñ0Bñ%ñ(ñDñø'ñ 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ÿÿÿzwÀÀÀ3™ë÷ÿ3fÿÜYyy¥ˆï Šç º___PPT10‹Ç ë.Y4Ép¿zk+-K/ÀDñ+ 'ñ I ÿÿÿÿ=ñ @Bñ Dñæ'ñ •ÿÿÿÿ=ñ @BñAñ?%ñ,(ñ <ñ +O%ñ,(ñ <ñ +Dñ''ñ =ñ%ñ(ñÿÿÿÿDñÏ'ñ =ñ%ñ(ñDñ>'ñ =ñA@Bñ�Bñ Bñ°Bñ0Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû*�ÿÿÿÿÿÿÿÿ%ñ(ñDñ¥'ñ ô=ñ-ñm6ñBñbox(in)*ñ<3ñ<ñû*�ÿÿÿÿÿÿÿÿDñ1'ñ =ñ4@Bñ�Bñ Bñ°Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû*�ÿÿÿÿÿÿÿÿ%ñ(ñDñ¥'ñ ô=ñ-ñm6ñBñbox(in)*ñ<3ñ<ñû*�ÿÿÿÿÿÿÿÿDñî'ñ =ñ%ñ(ñÿÿÿÿDñ–'ñ =ñ%ñ(ñDñ>'ñ =ñA@Bñ�Bñ Bñ°Bñ0Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû* �ÿÿÿÿÿÿÿÿ%ñ(ñDñ¥'ñ ô=ñ-ñm6ñBñbox(in)*ñ<3ñ<ñû* �ÿÿÿÿÿÿÿÿ+p+0+�0 ++0+ �0 +îÕï € 0 JðBPð˜ðÚð( ð ð˜ðr ð˜ S ð€<‰ ¿ÿŒð'+"ðà    ð žðZ 𘠓 ð6€œ� ‡�ƒ¿Àÿ ð<8<Î ð,$ñ  0 ðÀŸ °JL(n, ») coloring will use (n-ð1) -ð +» = n-ð1+(»-ð1) colors. ¡ÚY–&‚&&‚&¦& ¦&¦& ¦ &ªUð’² ð˜ s ð*A –?¿ÿ ?ð® �Òô ð8Á –$ñ@  0ð’² ð˜ s ð*A —?¿ÿ ?ð¥ =€ ë ð8Á —$ñ@  0ð’² ð˜ s ð*A ˜?¿ÿ ?ð¥ Lë ð8Á ˜$ñD  0ðH 𘠃 ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿzwÀÀÀ3™ë÷ÿ3fÿÜYyy¥ˆ3 Š+ º___PPT10‹ ë.M6ÉPŸ^Ÿ+¸ú4õDñ§ 'ñ I ÿÿÿÿ=ñ @Bñ Dñb 'ñ •ÿÿÿÿ=ñ @BñAñ?%ñ,(ñ <ñ 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of frequency 1.) ¡À`†‚___þ&‚___þ&€___þ&‚___þ¦€___þ&€___þ&‚___þA¦€___þ&€___þ‚€ð’² ðè s ð*A  ?¿ÿ ?ð) )o ð8Á  $ñD  0ð¨2 ðè à ðH‡¿�ƒ¿ËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?Nðé Ü¢ ðÊ¢ ðè Ó ðN€˜p$ ¿�ƒ¿ÀËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?Nð” Ëÿ¾  ðŸ K = Kn(»)-ðv¡¼ (2&ƒþ.�þ&�þ&ƒþ.ƒþçÿ.�þ¦�þ¦ƒþ¦�þª  ð¨B ð è@ à ðH¿D¿ËjJÎÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nð#-{ T ð¨B ð è@ à ðH¿D¿ÀÿËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nð# X T ðñ¢ ð è Ó ðN€à{$ ¿�ƒ¿ÀËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?NðžïÈ  ð;Ÿ¨w¡(2ƒþð¨B ðè@ à ðH¿D¿ÀËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nð#-z T ð¨B ðè@ à ðH¿D¿Àÿ3ÌËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nð`­ A ð¨B ðè à ðH¿D¿ÀËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nð#{ ¸ T ð¨B ðè à ðH¿D¿ÀËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nð#� Ú T ð¨B ðè à ðH¿D¿ÀËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nð#Z — T ð¨B ðè à ðH¿D¿À™ËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nðö{ CT ð¨B ðè à ðH¿D¿À™ËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?NðZ "` ð¨B ðè à ðH¿D¿À™ËŸoÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?NðM { ð¤2 ð*è “ ð6€àƒ$ …‡�ƒ¿ÿð' [‚  ð>Ÿ¡þª ðâB ð-è@ Ó ðN¿D¿À___˨)Ñÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?NðÛ „s ð,$ñ@  0ðn ð/è Ó ðN€ü†$ ¿�ƒ¿Ë¨)ÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?Nð2Ìâ@ 𸟠¶Kn(») ®ð Kn monochromatic edge bundle ®ð that color 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colors, and = 1 edges are of frequency 1. ¡‚eþ vK‚ çÿ‚‚!‚¢€ð’² ð à s ð*A  ?¿ÿ ?ð{ ÿÁ ð8Á  $ñD 0ðH ðà ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿzwÀÀÀ3™ë÷ÿ3fÿÜYyy¥ˆHŠ@º___PPT10‹ ë.K?ÉðHùÇ+ö÷ÄDñ¼ 'ñ $ ÿÿÿÿ=ñ @Bñ Dñw 'ñ •ÿÿÿÿ=ñ @BñAñ?%ñ,(ñ <ñ +O%ñ,(ñ <ñ +DñS'ñ =ñ%ñ(ñÿÿÿÿDñû'ñ =ñ%ñ(ñDñ1'ñ =ñ4@Bñ�Bñ Bñ°Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû*àÿÿÿÿÿÿÿÿ%ñ(ñDñ¥'ñ ô=ñ-ñm6ñBñbox(in)*ñ<3ñ<ñû*àÿÿÿÿÿÿÿÿDñ1'ñ =ñ4@Bñ�Bñ Bñ°Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû*àÿÿÿÿÿÿÿÿ%ñ(ñDñ¥'ñ ô=ñ-ñm6ñBñbox(in)*ñ<3ñ<ñû*àÿÿÿÿÿÿÿÿDñ1'ñ =ñ4@Bñ�Bñ Bñ°Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû*àÿÿÿÿÿÿÿÿ%ñ(ñDñ¥'ñ ô=ñ-ñm6ñBñbox(in)*ñ<3ñ<ñû*àÿÿÿÿÿÿÿÿDñS'ñ =ñ%ñ(ñÿÿÿÿDñû'ñ =ñ%ñ(ñDñT'ñ =ñA@Bñ�Bñ Bñ °Bñ0Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû*àÿÿÿÿÿÿÿÿ%ñ(ñDñ»'ñ ô=ñ-ñƒ6ñBñ'blinds(horizontal)*ñ<3ñ<ñû*àÿÿÿÿÿÿÿÿDñG'ñ =ñ4@Bñ�Bñ Bñ °Bñ%ñ(ñDñø'ñ =ñ1ñ :ñBñvisible*ño3ñ>ñ+Bñ#style.visibility<ñû* àÿÿÿÿÿÿÿÿ%ñ(ñDñ»'ñ ô=ñ-ñƒ6ñBñ'blinds(horizontal)*ñ<3ñ<ñû* àÿÿÿÿÿÿÿÿ+8+0+à0 +îŸï € 0 ð 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Forbidding rainbow directed triples in Dn ¡62x.�ƒƒçÿ�ª.¦ðH ðü ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿzwÀÀÀ3™ë÷ÿ3fÿÜYyy¥ˆ‘Љº___PPT10‹ië.hAÉ@‡\+Dñ='ñ ' ÿÿÿÿ=ñ @Bñ +î¥ ï € 0 ¼ ð´ ðððL ð( ð ððr ð S ð€ÈÜ' ¿ÿŒð€îòPðà  '  ð žðºB ð@ ó ðZ¿D¿ÀÿËÔ”ÑÔÕÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nð+Ôl ðºB ð€ ó ðZ¿D¿ÀÿËÔ”ÑÔÕÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nðu ì¨w ðºB ðÀ ó ðZ¿D¿ÀÿËÔ”ÑÔÕÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nð4ïÅu ð¤2 ð “ ð6€€ê' …‡�ƒ¿ÿðH ˜ó£  ð>Ÿ¡þª ð¤2 ð “ ð6€èe…‡�ƒ¿ÿðõ° P ð>Ÿ¡þª ð¤2 ð “ ð6€àð' …‡�ƒ¿ÿðH ¿£  ð>Ÿ¡þª ðºB ð@ ó ðZ¿D¿ÀÿËÔ”ÑÔÕÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nðò ¿Y ðÆB ð€  ðf¿D¿ÀÿËÔ”ÐÒÓÔÕÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nðb  “c ðºB ðÀ ó ðZ¿D¿ÀÿËÔ”ÑÔÕÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿ€¿‚‚N¿NÿN?Nð!Ú°b ð¤2 ð “ ð6€”õ' …‡�ƒ¿ÿð5 ƒÞ�  ð>Ÿ¡þª ð¤2 ð “ ð6€¼ù' …‡�ƒ¿ÿðâ›ö= ð>Ÿ¡þª ð¤2 ð “ ð6€Àý' …‡�ƒ¿ÿð5 ª  �  ð>Ÿ¡þª ð÷¢ ð à ðH€- ¿�ƒ¿Ë¨)ÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?Nð ‘M B  ðGŸ¨ Cyclic triple¡(2�þðû¢ ð à ðH€d- ¿�ƒ¿Ë¨)ÿ?¿ÿƒ"ñ0@ÿÀ¿‚‚N¿NÿN?Nð } 9B  ðKŸ¨Transitive triple¡(2�þðH ð ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿzwÀÀÀ3™ë÷ÿ3fÿÜYyy¥ˆ‘Љº___PPT10‹ië.hAÉðLŽ+Dñ='ñ ' ÿÿÿÿ=ñ @Bñ +îëï € 0 ðú ð\ð’ð( ð ð\ðr ð\ S ð€ - ¿ÿŒðB¾Âðà  -  ð žðr 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Ð Øà èðø  •¶ ¦p¿Ã¹õ¤j¤pCMTPdOæ VArial ·s²Ó©úÅé WingdingsArial Unicode MSSymbol tdesigncMicrosoft ¤èµ{¦¡½s¿è¾¹ 3.01Edge-colorings of Kn Which Forbid Rainbow Cycles §ë¼v¤ù 21. IntroductionyProposition 1.1 Suppose G is chordal. Then an edge-coloring of G forbids rainbow cycles iff it forbids rainbow K3¡¦s.zTheorem JL If the edges of Kn are colored with n or more colors actually appearing, then there is a rainbow K3 somewhere.vJL(n) coloring A JL(n) coloring is a coloring of the edges of Kn with exactly nƒ{1 colors, forbidding rainbow K3¡¦s.( Characterization of JL(n) Colorings »Lemma 2.1 Suppose n „d 2 and Kn is colored with a JL(n) coloring. Then ƒpv„¡V(Kn), there is exactly one color appears on edges incident to v and that color doesn¡¦t appear in Kn ƒ{v. §ë¼v¤ù 9 §ë¼v¤ù 10•Corollary 2.2 Suppose S „} V(Kn), 1 „T |S| „T n, and Kn is colored with a JL(n) coloring. Then the coloring restricted to is a JL(|S|) coloring.:Corollary 2.3 In a JL(n) coloring no K3 is monochromatic.:Theorem 2.4 Every JL(n) coloring is obtained as follows: §ë¼v¤ù 14 §ë¼v¤ù 15 §ë¼v¤ù 16 §ë¼v¤ù 17 §ë¼v¤ù 18 §ë¼v¤ù 19 §ë¼v¤ù 20 §ë¼v¤ù 21 §ë¼v¤ù 22 §ë¼v¤ù 23-Essentially the same, essentially different ÔCorollary 2.5 Suppose n>1. For any color appearing in a JL(n) coloring, the subgraph of Kn induced by the edges of that color is a complete bipartite graph. The subgraph is spanning in Kn for exactly one color.šCorollary 2.6 For n>2, the essentially different JL(n) colorings are in natural one-to-one correspondence with different full binary trees with n leafs. §ë¼v¤ù 27 §ë¼v¤ù 28 Frequency>3. Equalized Edge-colorings of Kn Forbidding Rainbow Cycles §ë¼v¤ù 31 §ë¼v¤ù 32 §ë¼v¤ù 33 §ë¼v¤ù 34 §ë¼v¤ù 35 §ë¼v¤ù 36 §ë¼v¤ù 37 §ë¼v¤ù 38 §ë¼v¤ù 39 §ë¼v¤ù 404. Edge-colorings of Kn(£f) �Lemma 4.1 In any rainbow-K3-forbidding edge coloring of Kn, any two edges bearing colors of frequency 1 in the coloring must be non-incident. yCorollary 4.2 In any rainbow-K3-forbidding edge coloring of Kn, no more than of the colors have frequency 1. WLemma 4.3 There is a JL(n) coloring in which of the colors have frequency 1. §ë¼v¤ù 45uv edge bundle hJL(n, £f) coloring A rainbow-K3-forbidding edge coloring of Kn(£f) can be obtained from the followings:p(3) If edge uv bears a color with frequency 1, then color all uv edge bundle in Kn(£f) with £f different color. §ë¼v¤ù 49ßTheorem 4.4 The greatest number of colors appearing in an rainbow-K3-forbidding edge coloring of Kn(£f) is nƒ{1+(£fƒ{1) , and if n, £f>1, the only such colorings with that number of colors are JL(n, £f) colorings. §ë¼v¤ù 51 §ë¼v¤ù 52 §ë¼v¤ù 53 §ë¼v¤ù 54 §ë¼v¤ù 55 §ë¼v¤ù 56 §ë¼v¤ù 57 §ë¼v¤ù 58 §ë¼v¤ù 59 §ë¼v¤ù 60 §ë¼v¤ù 61 §ë¼v¤ù 62 §ë¼v¤ù 63 §ë¼v¤ù 64>Claim there is at most one color on {v, w}-to-G and not in G. §ë¼v¤ù 66 §ë¼v¤ù 67$Cyclic triple and Transitive tripleVHow many colors can be used to color the arcs of Dn with no rainbow directed triples?†Theorem 5.1 The greatest # of colors in a coloring of the arcs of Dn s.t. there are no rainbow transitive triples is nƒ{1 + . §ë¼v¤ù 71 §ë¼v¤ù 72 §ë¼v¤ù 73 §ë¼v¤ù 74/Theorem 5.2 D is a digraph obtained by orienting the edges of Kn(£f) so that for any pair of distinct vertices there is at least one arc between them in each direction. Then the greatest # of colors in a coloring of the arcs of D s.t. there are no rainbow transitive triples is nƒ{1+(£fƒ{1) .·Theorem 5.3 Suppose n„¡N and n=4q+r where q, r„¡Z and 0„Tr<4. Let g(n)= Then the arcs of Dn can be colored with g(n) colors appearing so that there are no rainbow cyclic triples. §ë¼v¤ù 77 §ë¼v¤ù 78 The End¡K¡K.  ¨Ï¥Î¦r«¬ ²³ø³]­p½d¥»¤º´O OLE ¦øªAµ{¦¡ §ë¼v¤ù¼ÐÃDORoot Entryÿÿÿÿÿÿÿÿ��d›Oφꪹ)è€<oDÉ@@PicturesÿÿÿÿÿÿÿÿóïCurrent Userÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ)SummaryInformation(ÿÿÿÿ 0Uþÿÿÿ     !"#$%&'()*+,-./0123þÿÿÿ56789:;<þÿÿÿWýÿÿÿþÿÿÿþÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿþÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿþÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿö_À‘ã9!ôooooooR  !"#$%&'()*+,-./0123456789:;<=>?@ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]^_`abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}~€�‚ƒ„…†‡ˆ‰Š‹Œ�Ž��‘’“”•–—˜™š›œ�žŸ ¡¢£¤¥¦§¨©ª«¬­®¯°±²³´µ¶·¸¹º»¼½¾¿ÀÁÂÃÄÅÆÇÈÉÊËÌÍÎÏÐÑÒÓÔÕÖרÙÚÛÜÝÞßàáâãäåæçèéêëìíîïðñòóôõö÷þÿÿÿùúûüýþÿ      !"#$%&'()*+,-./0123456789:;<=>?@ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]^_`abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}~€�‚ƒ„…†‡ˆ‰Š‹Œ�Ž��‘’“”•–—˜™š›œ�žŸ ¡¢£¤¥¦§¨©ª«¬­®¯°±²³´µ¶·¸¹º»¼½¾¿ÀÁÂÃÄÅÆÇÈÉÊËÌÍÎÏÐÑÒÓÔÕÖרÙÚÛÜÝÞßàáâãäåæçèéêëìíîïðñòóôõö÷øùúûüýþÿ      !"#$%&'()*+,-./0123456789:;<=>?@ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]^_`abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}~€�‚ƒ„…†‡ˆ‰Š‹Œ�Ž��‘’“”•–—˜™š›œ�žŸ ¡¢£¤¥¦§¨©ª«¬­®¯°±²³´µ¶·¸¹º»¼½¾¿ÀÁÂÃÄÅÆÇÈÉÊËÌÍÎÏÐÑÒÓÔÕÖרÙÚÛÜÝÞßàáâãäåæçèéêëìíîïðñòóôõö÷øùúûüýþÿ      !"#$%&'()*+,-./0123456789:;<=>?@ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]^_`abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}~€�‚ƒ„…†‡ˆ‰Š‹Œ�Ž��‘’“”•–—˜™š›œ�žŸ ¡¢£¤¥¦§¨©ª«¬­®¯°±²³´µ¶·¸¹º»¼½¾¿ÀÁÂÃÄÅÆÇÈÉÊËÌÍÎÏÐÑÒÓÔÕÖרÙÚÛÜÝÞßàáâãäåæçèéêëìíîïðñòóôõö÷øùúûüýþÿ      !"#$%&'()*+,-./0123456789:;<=>?@ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]^_`abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}~€�‚ƒ„…†‡ˆ‰Š‹Œ�Ž��‘’“”•–—˜™š›œ�žŸ ¡¢£¤¥¦§¨©ª«¬­®¯°±²³´µ¶·¸¹º»¼½¾¿ÀÁÂÃÄÅÆÇÈÉÊËÌÍÎÏÐÑÒÓÔÕÖרÙÚÛÜÝÞßàáâãäåæçèéêëìíîïðñòóôõö÷øùúûüýþÿ      !"#$%&'()*+,-./0123456789:;<=>?@ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]^_`abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}~€�‚ƒ„…†‡ˆ‰Š‹Œ�Ž��‘’“”•–—˜™š›œ�žŸ ¡¢£¤¥¦§¨©ª«¬­®¯°±²³´µ¶·¸¹º»¼½¾¿ÀÁÂÃÄÅÆÇÈÉÊËÌÍÎÏÐÑÒÓÔÕÖרÙÚÛÜÝÞßàáâãäåæçèéêëìíîïðñòóôõö÷øùúûüýþÿ      !"#$%&'()*+,-./0123456789:;<=>?@ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]^_`abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}~€�‚ƒ„…†‡ˆ‰Š‹Œ�Ž��‘’“”•–—˜™š›œ�žŸ ¡¢£¤¥¦§¨©ª«¬­®¯°±²³´µ¶·¸¹º»¼½¾¿ÀÁÂÃÄÅÆÇÈÉÊËÌÍÎÏÐÑÒÓÔÕÖרÙÚÛÜÝÞßàáâãäåæçèéêëìíîïðñòóôõö÷øùúûüýþÿ      !"#$%&'()*+,-./0123456789:;<=>?@ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]^_`abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|}~€�‚ƒ„…†‡ˆ‰Š‹Œ�Ž��‘’“”•–—˜™š›œ�žŸ ¡¢£¤¥¦§¨©ª«¬­®¯°±²³´µ¶·¸¹º»¼½¾¿ÀÁÂÃÄÅÆÇÈÉÊËÌÍÎÏÐÑÒÓÔÕÖרÙÚÛÜÝÞßàáâãäåæçèéêëìíîïðñòóôõö÷øùúûüýþÿþÿÿÿ     !"#$%&'()*+,-./0123þÿÿÿ56789:;<þÿÿÿ>?@ABCDþÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿýÿÿÿWþÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿRoot Entryÿÿÿÿÿÿÿÿ��d›Oφꪹ)èþÿÿÿPicturesÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿóïCurrent Userÿÿÿÿÿÿÿÿ=SummaryInformation(ÿÿÿÿ 0UPowerPoint Document(ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿø]!DocumentSummaryInformation8ÿÿÿÿÿÿÿÿ4@ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ