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óŸ¨$Recursions and generating functions ¡% B6Ÿ Speaker:Ng5_3W ¡ 0ªóŸ¨Contents¡ aŸ¨dOrdinary generating function and example Exponential generating function and example Catalan numbers¡eT€ª$(;óŸ¨Ordinary generating function¡AŸª óŸ¨ Solution:Ÿª óŸ¨ Solution:Ÿª óŸ¨ Solution:Ÿª óŸ¨Exponential generating function¡ $Ÿª ó!Ÿ¨ Solution:Ÿª ó#Ÿ¨ Solution:Ÿª ó& Ÿ¨ Solution:Ÿª ó( Ÿ¨SolutionŸª óIŸŸª óKŸŸª ó+ Ÿ¨ Theorem 14.1Ÿª ó- Ÿ¨Proof of Thm 14.1ª Ÿª ó/ Ÿ¨Proof of Thm 14.1ª"Ÿª ó3Ÿ¨Proof of Thm 14.1ª"Ÿª ó5Ÿ¨Proof of Thm 14.1ª"Ÿª ó7Ÿ¨Catalan numbersŸª ó9Ÿ¨ Solution:Ÿª ó;Ÿ¨ Solution:Ÿª ó>Ÿ¨ Solution:Ÿª óAŸ¨ Theorem 13.7Ÿª óBŸ¨Proof of Thm 13.7ª Ÿª óFŸ¨ Theorem 13.6ª Ÿª óGŸ¨Proof of Thm 13.6ª Ÿª óMŸŸ¨ The end Thanks ¡@ ,êø&ï `ð >yŽÿÿÿ5fwÿÿÌ ±:q„ÿ¿ Ì™`ð êêêêêê3fÿÿÿÝÝÝ3f™š`ð êêêêêêÿÿÿÝÝÝwww–––`ð ÔÕÃI$¹ºœnIÛØÏÇȰ̙€€€£>ÿý?" dd@ÿÿï€ÿÿ,£Žÿý?nKdØ@ÿÿï€ÿÿ @FÔ ú" dÐ@ ð`h U€ £nÿý?" dÿd@ÿÿï€ÿÿ   @@``€€P£P   @ ` €`£p£>€£> ª"ð¢" ðEEœð@"ð( ð ðœð,ðT ð‚æ ðœ ðˆ"ñ¿ð‚æðn 𜠃 ð0…‡�¿Àÿ "ñ¿ð0àðn 𜠃 ð0…‡�¿Àÿ "ñ¿ð`�æðn 𜠃 ð0…‡�¿Àÿ 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ó#Ÿ¨ Solution:Ÿª ó& Ÿ¨ Solution:Ÿª ó( Ÿ¨SolutionŸª óIŸŸª óKŸŸª óPŸŸª ó+ Ÿ¨ Theorem 14.1Ÿª ó- Ÿ¨Proof of Thm 14.1ª Ÿª ó/ Ÿ¨Proof of Thm 14.1ªŸª ó3Ÿ¨Proof of Thm 14.1ªŸª ó5Ÿ¨Proof of Thm 14.1ªŸª ó7Ÿ¨Catalan numbersŸª ó9Ÿ¨ Solution:Ÿª ó;Ÿ¨ Solution:Ÿª ó>Ÿ¨ Solution:Ÿª óAŸ¨ Theorem 13.7Ÿª óBŸ¨Proof of Thm 13.7ª Ÿª óFŸ¨ Theorem 13.6ª Ÿª óGŸ¨Proof of Thm 13.6ª Ÿª óMŸŸ¨ The end Thanks ¡@ ,êî*ï € šð’Pð\ð*ð( ð ð\ðr ð\ S ð€$#c¿ÿAœðõ `Õðà  c ð žðx ð\ c ð$€ðc¿ÿBœð°?4ðà c ð žðH ð\ ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ™3ÿÿÿ»_þì”ÿ™·jÿÿÌÌ̈8Š0º___PPT10‹ë.ºÆPH�áî:ï € ªð¢Ðð „ð:ð( ð ð„ðx ð„ c ð$€°Ç¿ÿAœðã%;Ãðà  Ç ð žð‚² ð „0 “ ð6€A ?¿ÿBœð€àÕ0ðÁ à ÇðH ð„ ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€»àã33™™™™Ìˆ8Š0º___PPT10‹ë.¼Æ`1B€îîï € žð–0ðð.ð( ð ððr ð S ð€ìâc¿ÿAœðy%;ÿðà  c ð žð|² ð0 ƒ ð0€A K¿ÿBœð€  ððÁ Kà ÇðH ð ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð êêêêêê3fÿÿÿÝÝÝ3f™šîîï € žð–àð ð.ð( ð ð ðr ð  S ð€`ÞÇ¿ÿAœðy%;ÿðà  Ç ð žð|² ð 0 ƒ ð0€A L¿ÿBœð°Ð ðÁ Là ÇðH ð  ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð 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·s²Ó©úÅéVerdanaTimes New Roman WingdingsImpact GungsuhChe Bold StripesMathType 5.0 Equation%Recursions and generating functions ContentsOrdinary generating function Solution: Solution: Solution: Exponential generating function Solution: Solution: Solution: Solution: Solution:PowerPoint ²³øPowerPoint ²³øPowerPoint ²³øPowerPoint ²³ø Theorem 14.1Proof of Thm 14.1Proof of Thm 14.1Proof of Thm 14.1Proof of Thm 14.1Catalan numbers Solution: Solution: Solution: Theorem 13.7Proof of Thm 13.7Proof of Thm 13.7 Theorem 13.6Proof of Thm 13.6PowerPoint ²³ø  ¨Ï¥Î¦r«¬ ²³ø³]­p½d¥»¤º´O OLE ¦øªAµ{¦¡ö_À‘ã•–ô×use2use2 §ë¼v¤ù¼ÐÃD…†‡ˆŠ@ñ÷ð8ó€ó€Ðw£ Êš;­”ÇÊš;úgþý4HdHdvÇ 0pÚ\þÿÿ¬ÿÿÿpûppû@ <ý4dddd`ó 0,Þ­×ÿ <ý4!d!dœÚÙô 0,Þˆ8Š0º___PPT10‹ pµpµ?Ù Ú%ð} óŸ¨$Recursions and generating functions ¡% B6Ÿ Speaker:Ng5_3W ¡ 0ªóŸ¨Contents¡ aŸ¨zOrdinary generating function and example Exponential generating function and example Catalan numbers Theorem 13.6 and 13.7¡{T'€ª(RóŸ¨Ordinary generating function¡AŸª óŸ¨ Solution:Ÿª óŸ¨ Solution:Ÿª óŸ¨ Solution:Ÿª óŸ¨Exponential generating function¡ $Ÿª ó!Ÿ¨ Solution:Ÿª ó#Ÿ¨ Solution:Ÿª ó& Ÿ¨ Solution:Ÿª ó( Ÿ¨SolutionŸª óIŸŸª óKŸŸª óPŸŸª ó+ Ÿ¨ Theorem 14.1Ÿª ó- Ÿ¨Proof of Thm 14.1ª Ÿª ó/ Ÿ¨Proof of Thm 14.1ªŸª ó3Ÿ¨Proof of Thm 14.1ªŸª ó5Ÿ¨Proof of Thm 14.1ªŸª ó7Ÿ¨Catalan numbersŸª ó9Ÿ¨ Solution:Ÿª ó;Ÿ¨ Solution:Ÿª ó>Ÿ¨ Solution:Ÿª óAŸ¨ Theorem 13.7Ÿª óBŸ¨Proof of Thm 13.7ª Ÿª óFŸ¨ Theorem 13.6ª Ÿª óGŸ¨Proof of Thm 13.6ª Ÿª óMŸŸ¨ The end Thanks ¡@ ,êîîï € žð–€ðèð.ð( ð ðèðr ðè S ð€„¡e¿ÿAœð%;ÿðà  e ð žð|² ðè0 ƒ ð0€A f¿ÿBœð`Ð ðÁ fà CðH ðè ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð êêêêêê3fÿÿÿÝÝÝ3f™šîôï € ¤ðœpððð4ð( ð ðððr ðð S ð€Ì�e¿ÿAœð%;ÿðà  e ð žð‚² ðð0 “ ð6€A /?¿ÿBœð?P’ ðÁ /à eðH ðð ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð êêêêêê3fÿÿÿÝÝÝ3f™šƒxœíVKoU>÷ÎØ‰©íô‘4mÛÐb'�jYâ$†P)Áj±ArÝâËŽ]âã,JÔŠ*bà„E,¨D6]P©R(R+@°AjeQ Ä! 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óŸ¨Exponential generating function¡ $Ÿª ó!Ÿ¨ Solution:Ÿª ó#Ÿ¨ Solution:Ÿª ó& Ÿ¨ Solution:Ÿª ó( Ÿ¨ Solution:Ÿª ó]Ÿ¨ Solution:Ÿª óIŸŸª óKŸŸª ó^ŸŸª óPŸŸª ó+ Ÿ¨ Theorem 14.1Ÿª ó- Ÿ¨Proof of Thm 14.1ª Ÿª ó/ Ÿ¨Proof of Thm 14.1ªŸª ó3Ÿ¨Proof of Thm 14.1ªŸª ó5Ÿ¨Proof of Thm 14.1ªŸª ó7Ÿ¨Catalan numbersŸª ó9Ÿ¨ Solution:Ÿª ó;Ÿ¨ Solution:Ÿª ó>Ÿ¨ Solution:Ÿª óAŸ¨ Theorem 13.7Ÿª óBŸ¨Proof of Thm 13.7ª Ÿª ódŸ¨Proof of Thm 13.7ª"Ÿª óFŸ¨ Theorem 13.6ª Ÿª óGŸ¨Proof of Thm 13.6ª Ÿª óMŸŸ¨ The end Thanks ¡@ ,êî*ï € šð’Pð\ð*ð( ð ð\ðr ð\ S ð€�"e¿ÿAœðà ððà  e ð žðx ð\ c ð$€8#e¿ÿBœð°?4ðà e ð žðH ð\ ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ™3ÿÿÿ»_þì”ÿ™·jÿÿÌÌ̈8Š0º___PPT10‹ë.ºÆPH�áî4ï € ¤ðœ`ð „ð4ð( ð ð„ðx ð„ c ð$€°£e¿ÿAœðã%;Ãðà  e ð žð|² ð „0 ƒ ð0€A �¿ÿBœð’ðÁ �à rðH ð„ ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð ÿÿÿ€€€»àã33™™™™Ìˆ8Š0º___PPT10‹ë.¼Æ`1B€îôï € ¤ðœ�ð°ð4ð( ð ð°ðx ð° c ð$€àr…¿ÿAœð\°Æððà  r ð žð|² ð°0 ƒ ð0€A €¿ÿBœð"?4�ðÁ €Ã rðH ð° ƒ ð0�ƒ“ŽŸ‹”Þ½h¿ÿ ?ð êêêêêê3fÿÿÿÝÝÝ3f™šîôï € ¤ðœÀð¸ð4ð( ð ð¸ðr ð¸ S ð€ämr¿ÿAœð%;ÿðà  r ð žð‚² ð¸0 “ ð6€A ƒ?¿ÿBœðà à`ðÁ ƒÃ 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